X,Y univariado variable aleatoria con $F_{X,Y}(x,y)=G_1(x)G_2(y)$: ¿son independientes?

Question

Deje $X:\Omega\to\mathbb{R}$ $Y:\Omega\to\mathbb{R}$ ser univariado de las variables aleatorias con CDF $F_{X,Y}(x,y)$ tal forma que: $$ F_{X,Y}(x,y)=G_1(x)G_2(y),\forall (x,y)\in\mathbb{R}\times\mathbb{R} $$ donde $G_1:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$, $G_2:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ son funciones conocidas.

Pregunta: ¿Es cierto que $X$ $Y$ son independientes RVs?

Puede alguien darme algunos consejos?

Traté de: $$ F_X(x)=\lim_{y\to\infty}F_{X,Y}(x,y)=\lim_{y\to\infty}G_1(x)G_2(y)=G_1(x)\cdot\lim_{y\to\infty}G_2(y) $$ pero no sé por qué (o si) $\lim_{y\to\infty}G_2(y)=1$.

Answer 1

Sí, es cierto que estos supuestos implican $X$ $Y$ son independientes.

Simplificar la notación por escrito $F = F_{X,Y}$. Por definición,

$$F(x,y) = \Pr(X \le x, Y \le y).$$

Por lo tanto el límite de $F(x,y)$ $y$ aumenta sin límite existe y es la posibilidad de que $X$ no exceda el $x$:

$$F_X(x) = \Pr(X \le x) = \lim_{y\to\infty} F(x,y) = G_1(x) \lim_{y\to\infty} G_2(y).$$

La elección de cualquiera de $x$ que $F_X(x)\ne 0$ muestra $G_2^\infty = \lim_{y\to\infty}G_2(y)$ es distinto de cero. ($x$ Debe existir por la ley de total probabilidad, que afirma $\lim_{x\to\infty}F_X(x)=1$.) Así

$$G_1(x) = \frac{F_X(x)}{G_2^\infty}$$

para todos los $x$. El intercambio de los roles de $X$ $Y$ y el uso de análogos de la notación,

$$G_2(y) = \frac{F_Y(y)}{G_1^\infty}$$

para todos los $y$. Tomando el conjunto límite de ambos $x$ $y$ crecer sin límite muestra

$$1 = \lim_{x,y\to\infty} F(x,y) = G_1^\infty G_2^\infty.$$

Por lo tanto

$$F(x,y) = G_1(x)G_2(y) = \frac{F_X(x)F_Y(y)}{G_1^\infty G_2^\infty} = F_X(x)F_Y(y),$$

demostrando $X$ $Y$ son independientes.