Vamos $x_{1},x_{2},y_{1},y_{2},z_{1},z_{2},w_{1},w_{2} $ son todos los números positivos, y tal $$x_{1}y_{1}z_{1}-w^3_{1}>0,\; \text{ and }\;x_{2}y_{2}z_{2}-w^3_{2}>0.$$ mostrar que $$\dfrac{16}{(x_{1}+x_{2})(y_{1}+y_{2})(z_{1}+z_{2})-(w_{1}+w_{2})^3}\le\dfrac{1}{x_{1}y_{1}z_{1}-w^3_{1}}+\dfrac{1}{x_{2}y_{2}z_{2}-w^3_{2}}.$$
Este problema es creado por mí, y el fondo es la de 1969 de la OMI problema 6,
por favor, consulte: http://www.artofproblemsolving.com/Forum/viewtopic.php?p=363659&sid=efafc24957d8919546afe4254638aea6#p363659
Gracias a todos por mostrar una prueba, todavía no puedo probarlo.
Respuestas
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richard
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Parece que el siguiente.
Es una respuesta parcial, la clarificación de la situación (para mí :-)).
En primer lugar, consideramos el conjunto $D=\{(x,y,z,w)\in (0;\infty)^4: xyz>w^3\}$. Pretendemos que el conjunto $D$ es convexa. Para demostrar esto basta para comprobar que la función de $g(x,y,z)=–(xyz)^{1/3}$ es convexo.
$$H(g)=\frac 19\left\| \begin{matrix} 2x^{-5/3}y^{1/3}z^{1/3} & -x^{-2/3}y^{-2/3}z^{1/3} & -x^{-2/3}y^{1/3}z^{-2/3}\\ -x^{-2/3}y^{-2/3}z^{1/3} & 2x^{1/3}y^{-5/3}z^{1/3} & -x^{-2/3}y^{-2/3}z^{1/3}\\ -x^{-2/3}y^{1/3}z^{-2/3} & -x^{-2/3}y^{-2/3}z^{1/3} & 2x^{1/3}y^{1/3}z^{-5/3}\\ \end{de la matriz} \right\|$$
tiene las siguientes director de menores de edad
$$\Delta_1=2x^{-5/3}y^{1/3}z^{1/3}\ge 0, \Delta_2=2x^{1/3}y^{-5/3}z^{1/3}\ge 0, \Delta_3=2x^{1/3}y^{1/3}z^{-5/3}\ge 0,$$
$$\Delta_{12}=3x^{-4/3}y^{-4/3}z^{2/3}\ge 0, \Delta_{13}=3x^{-4/3}y^{2/3}z^{-4/3}\ge 0, \Delta_{23}=3x^{1/3}y^{-4/3}z^{-4/3}\ge 0,$$
$$\Delta_{123}=0\ge 0.$$
Dado que todos ellos son no negativos, la matriz $H(g)$ es positivo semidefinite , por lo que la función de $g$ es convexa.
Por lo tanto la cuestión de la desigualdad es equivalente a la convexidad de la función de $f(x,y,z,w)=\frac 1{xyz-w^3}$ definido en el conjunto convexo $D$, lo que de nuevo se puede comprobar como positivo semidefiniteness de la matriz Hessiana $H(f)$. :-) Pero yo no había hecho esta comprobación, así que no sé la pregunta desigualdad se cumple o no.
Abdul Waheed
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el uso de la reorganización de la desigualdad !
en primer lugar, asumimos que :
$x_{1}y_{1}z_{1}-w^3_{1}=a>0\; \text{ and }\;x_{2}y_{2}z_{2}-w^3_{2}=b>0$
mediante la observación de su desigualdad , usted puede encontrar que :
$\dfrac{16}{(x_{1}+x_{2})(y_{1}+y_{2})(z_{1}+z_{2})-(w_{1}+w_{2})^3}\le\dfrac{1}{x_{1}y_{1}z_{1}-w^3_{1}}+\dfrac{1}{x_{2}y_{2}z_{2}-w^3_{2}}$$\Longrightarrow$
$\frac{16}{x_{2}y_{2}z_{1}+x_{1}y_{2}z_{1}+x_{2}y_{1}z_{1}+x_{1}y_{1}z_{2}+x_{1}y_{2}z_{2}+x_{2}y_{1}z_{2}+a+b-3w_{1}w_{2}(w_{1}+w_{2})}$$\le$$\frac{a+b}{ab}$
a continuación, puede utilizar el reordenamiento de la desigualdad para obtener :
$4(a+b)^{2}\ge16ab$
la sugerencia es :
en primer lugar, asumimos que :
$\frac{x_{1}y_{1}z_{1}}{w_{1}^3}\ge{1}$$,$$\frac{x_{2}y_{2}z_{2}}{w_{2}^3}\ge{1}$
donde, $\frac{x_{1}}{w_{1}}$$\ge$$\frac{x_{2}}{w_{2}}$$,$ $\frac{y_{1}}{w_{1}}$$\ge$$\frac{y_{2}}{w_{2}}$$,$ $\frac{z_{1}}{w_{1}}$$\ge$$\frac{z_{2}}{w_{2}}$
si $a<b$, entonces podemos usar el reordenamiento de la desigualdad de transferencia :
$x_{2}y_{2}z_{1}+x_{1}y_{2}z_{1}+x_{2}y_{1}z_{1}+x_{1}y_{1}z_{2}+x_{1}y_{2}z_{2}+x_{2}y_{1}z_{2}$
a :
$3(x_{1}y_{1}z_{1}+x_{2}y_{2}z_{2})$
también nos transferencia :
$3w_{1}w_{2}(w_{1}+w_{2})$
a :
$3w_{1}^{3}+3w_{2}^{3}$
por lo tanto, su solución tiene !
