¿Cuáles son los más estrechos conoce límites para el número de grupos de orden $2048$?

Question

El número de grupos de orden $2048$ es desconocido.

¿Cuáles son los más estrechos conoce límites (límites inferior y superior : estoy interesado en ambos) para el número de grupos de orden $2048$ ?

Sé que la fórmula asintótica para $p^k$, pero no creo que le da un útil obligado para $p^k=2048$. En algún lugar leí que un subconjunto de los grupos (pero no recuerdo de qué tipo de subconjunto) se calculó para obtener un límite inferior.

Puede ser estimado de cuánto tiempo va a tomar para determinar el número ?

Answer 1

De acuerdo con el segundo párrafo del https://www.math.auckland.ac.nz/~o'brien/investigación/gnu.pdf (que he publicado en otro de sus preguntas de ayer)

"[El número de grupos de fin de 2048] todavía no se conoce con precisión, pero es estrictamente supera 1774274116992170, que es el número exacto de los grupos de fin de 2048 que han exponente-2 clase 2, y con confianza puede esperar a estar de acuerdo con ese número en sus primeros 3 dígitos. "

Esta es probablemente la mejor respuesta que se puede obtener fácilmente.

Answer 2

Creo que el subconjunto de grupos a los que usted está pensando es el conjunto de $p$-clase 2 grupos de orden $p^n$. Higman utiliza este número para obtener su límite inferior que es $$ p^{\frac{2}{27}(n^3-6n^2)}.$$ Por lo tanto, un límite inferior en el número de grupos de orden $2^{11}$$2^{\frac{1210}{27}}\approx 3\times 10^{13}$.

En ese mismo papel, Higman calcula un fácil límite superior de $$p^{\frac{1}{6}(n^3-n)},$$ lo que nos da una cota superior de a $2^{220}\approx 10^{66}$.

El límite superior aquí no es el más conocido (incluso Higman da un poco mejor asintótica enlazado en el mismo papel), pero creo que el límite inferior puede ser la mejor que tenemos.