¿Por qué es tan difícil encontrar las raíces de ecuaciones polinómicas?

Question

La pregunta que sigue se inspira en este pregunta:

Cuando se trata de resolver las raíces de una ecuación polinómica, la fórmula cuadrática es mucho más sencilla que la cúbica y la cúbica es mucho más sencilla que la cuártica.

1. El hecho de que las soluciones generales a varias ecuaciones polinómicas sean tan complejas y difíciles de derivar parece sugerir una limitación fundamental en la capacidad de resolución de problemas de la maquinaria matemática. ¿Tiene sentido esta intuición mía? ¿Qué sentido tiene?
2. ¿Por qué con cada grado sucesivo en una ecuación polinómica la solución se vuelve mucho más compleja? ¿Puedo intuir por qué es tan difícil encontrar las raíces?
3. Según la Teorema de Abel-Ruffini : "no hay solución algebraica general -es decir, solución en radicales- para las ecuaciones polinómicas de grado cinco o superior". ¿Qué tiene de especial la quíntica para que sea el punto de corte para encontrar una solución algebraica general?

Answer 1

Cuando intentas resolver un grado $n$ ecuación, hay $n$ raíces que hay que encontrar (en principio) y ninguna de ellas se ve favorecida sobre ninguna de las otras, lo que (en cierto sentido metafórico) significa que hay que romper un $n$ -simetría doble para escribir las raíces.

Ahora el grupo de simetría de las n raíces se complica más y más cuanto mayor sea $n$ es. Para $n = 2$ es abeliano (¡y muy pequeño!); para $n = 3$ y $4$ sigue siendo resoluble (en el sentido técnico de la teoría de grupos), lo que explica la existencia de una fórmula explícita que implica radicales (esto se debe a Galois, y forma parte de la llamada teoría de Galois); para $n = 5$ o más este grupo no es resoluble (en el sentido técnico de la teoría de grupos), y esto corresponde al hecho de que no existe ninguna fórmula explícita que implique radicales.

Resumen: La complejidad del grupo de simetría del $n$ raíces conlleva la correspondiente complejidad en la resolución explícita de la ecuación.

Answer 2

La idea es básicamente:

Cualquier polinomio mónico se puede factorizar como $f(x) = \prod (x - a_i)$ donde $a_{1,\dots,n}$ son las raíces del polinomio.

Ahora bien, si ampliamos dicho producto:

$(x - a_1)(x - a_2) = x^2 - (a_1 + a_2)x + a_1a_2$ $(x - a_1)(x - a_2)(x - a_3) = x^3 - (a_1 + a_2 + a_3)x^2 + (a_1a_2 + a_1a_3 + a_2a_3)x - a_1a_2a_3$

Y así sucesivamente. El patrón debería estar claro.

Esto significa que encontrar las raíces de un polinomio es, de hecho, equivalente a resolver sistemas como el siguiente:

Para un polinomio cuadrático $x^2 - px + q$ encuentra $a_1,a_2$ tal que

$p = a_1 + a_2$

$q = a_1a_2$

Para un polinomio cúbico $x^3 - px^2 + qx - r$ encuentra $a_1,a_2,a_3$ tal que

$p = a_1 + a_2 + a_3$

$q = a_1a_2 + a_1a_3 + a_2a_3$

$r = a_1 a_2 a_3$

Y lo mismo para polinomios de grado superior.

No es sorprendente que la cantidad de "despliegue" que hay que hacer para resolver el sistema cuadrático sea mucho menor que la cantidad de "despliegue" necesaria para el sistema cúbico.

La razón por la que los polinomios de grado 5 o superior no son resolubles por radicales, se puede pensar como: La estructura (simetrías) del sistema para tal polinomio simplemente no coincide con ninguna de las estructuras que se pueden obtener combinando las estructuras de las operaciones elementales (sumar restar, multiplicar, dividir y sacar raíces).

Answer 3

En el clásico artículo de Wilkinson se analizan algunos problemas prácticos. El pérfido polinomio . Si no puede acceder a él, compruebe qué Wikipedia sobre el tema.

Answer 4

1.) Número de soluciones, Número de coeficientes

Consideremos las ecuaciones polinómicas con coeficientes complejos.
El aumento del número de soluciones de ecuaciones polinómicas con el grado de la ecuación es una de las razones de la mayor complejidad de la fórmula de solución.
El aumento del número de coeficientes posibles de las ecuaciones polinómicas con el grado de la ecuación es otra razón de la mayor complejidad de la fórmula de solución.

2.) Posibilidad de soluciones de forma cerrada

Historia de la resolución de ecuaciones polinómicas de una incógnita comenzó con soluciones en radicales . Pero hay ecuaciones polinómicas de grado > 4 que no tienen soluciones en radicales.

Los radicales son expresiones con algebraico operaciones. Si además permite todas las funciones algebraicas, $\exp$ y $\ln$ , usted permite que todos expresiones elementales .
Chow [Chow 1999] da su
Corolario 1:
"Si Conjetura de Schanuel es cierto, entonces los números algebraicos en" el explícito números elementales "son precisamente las raíces de ecuaciones polinómicas con coeficientes enteros que son resolubles en radicales".
Es decir, las ecuaciones algebraicas que no son resolubles en radicales no pueden resolverse mediante números elementales (significa aplicando funciones elementales).

Existen diferentes razones para la insolubilidad de las ecuaciones polinómicas en radicales (o en números elementales): por ejemplo, independencia algebraica, restricciones de simetría, restricciones topológicas.

Todas las soluciones de ecuaciones polinómicas pueden representarse con ayuda de funciones trascendentales, por ejemplo, funciones theta, funciones elípticas, radicales Bring, funciones modulares exponenciales/elípticas, formas modulares Siegel, integrales hiperelípticas.
$\ $

[Chow 1999] Chow, T.: Qué es un número de forma cerrada. Am. Math. Monthly 106 (1999) (5) 440-448

Answer 5

Puede que esto sólo esté relacionado tangencialmente, ya que se refiere específicamente a las ecuaciones diofánticas, pero creo que habla del tipo general de complejidad que se empieza a invocar cuando se llega a los polinomios quínticos y, por tanto, merece la pena mencionarlo.

Matiyasevich demostró hace un tiempo que se puede representar cualquier conjunto enumerable recursivamente como el conjunto de soluciones de una ecuación diofantina. Recuerdo que, en el caso general, esto requiere utilizar polinomios con variables que tengan al menos un grado 4. Y lo que esto significa es que toda la complejidad que se puede encontrar en cualquier programa informático (incluidos los problemas fundamentalmente indemostrables / indecidibles) se puede empaquetar en una de estas ecuaciones.

Por ejemplo, véase esta fórmula que enumera los primos:

https://en.wikipedia.org/wiki/Formula_for_primes#Formula_based_on_a_system_of_Diophantine_equations