$F[x]/(x^2)\cong F[x]/(x^2 - 1)$ si y sólo si F tiene carácter 2

Question

Artin del Álgebra, en el Capítulo 10 problema 5.16 estados:

Deje $F$ ser un campo. Demostrar que los anillos de $F[x]/(x^2)$ $F[x]/(x^2-1)$ son isomorfos si y sólo si $F$ tiene carácter 2.

Como un pedante preocupación: si F tiene características de 0, entonces seguramente este isomorfismo todavía se mantiene? Así que tal vez debería ser "la característica más que 2"?

Más en serio, parece que $F[x]/(x^2)=\left\{f_0 + f_1 x\right\}$ ya estamos a solo establecimiento $x^2=0$. Del mismo modo, parece como $f_0 + f_1x / (x^2-1) = f_0 + f_1 x$, lo que implica que $F[x]/(x^2)=F[x]/(x^2-1)$ independiente de la característica de $F$. Para probar esto tenemos que mostrar que $\text{deg}(fg)=\text{deg}(f)+\text{deg}(g)$, que creo que es cierto en al menos integral de los dominios.

¿Cuál es mi error aquí?

Answer 1

No, el problema es correcta como se indica: en particular, los anillos no son isomorfos en característica cero. Creo que el error viene de leer demasiado en la descripción de los elementos de ambos anillos cociente como (representado por) $f_0 + f_1 x$. Esto muestra que ellos son isomorfos como $F$-espacios vectoriales: es decir, ambos tienen dimensión $2$. Pero no demuestra que ellos son isomorfos como anillos.

Sugerencia: si el carácter no es $2$, $(x-1)$ $(x+1)$ son comaximal ideales en el polinomio anillo de $F[x]$, por lo que podemos aplicar el Teorema del Resto Chino para obtener una buena descripción de la $F[x]/(x^2-1)$. En particular, usted debe encontrar que el cociente es una reducción de anillo, es decir, no tiene un valor distinto de cero nilpotent elementos, a diferencia de $F[x]/(x^2)$.

Supongo que se puede ver por qué los dos anillos son isomorfos en el carácter $2$?

Añadido: Después de haber resuelto este problema, es esclarecedor para hacer uno más general: deje $F$ ser un campo, $P(x) \in F[x]$ un polinomio, y tratar de dar una descripción explícita como puede, el cociente del anillo de $F[x]/(P(x))$. Por ejemplo: cuando es la integral de dominio? Un campo? Conectado a un anillo (es decir, sin idempotents otros de $0$$1$)? Una reducción de anillo (es decir, sin nilpotents otros de $0$)? Resulta que todo depende de la forma de la factorización de $P(x)$ en los poderes de los distintos polinomios irreducibles...

Answer 2

SUGERENCIA $\ $ Si $\rm\ char(F) \ne 2\ $ $\rm\:F[x]/(x^2-1)\ \cong\ F[x]/(x-1) + F[x]/(x+1)\ \cong\ F^2\:$ ha trivial idempotents, por ejemplo, $\rm\:(0,1)\:,\:$ pero $\rm\:F[x]/(x^2)\:$ no (como es fácil de comprobar).

Answer 3

El problema es que se están estableciendo un isomorfismo de espacios vectoriales, pero no es un isomorfismo de anillos.

En $F[x]/(x^2)$, tenemos un elemento que las plazas a cero. Como ya se ha demostrado, los elementos (clases de equivalencia) de $F[x]/(x^2-1)$ puede ser representado por los elementos de la forma $ax+b$. Si tuviéramos un anillo de isomorfismo $\varphi:F[x]/(x^2)\to F[x]/(x^2-1)$, entonces tendríamos $\varphi(x)=ax+b+(x^2-1)F[x]$, y, por tanto,$(ax+b)^2=k(x^2-1)$. Sin embargo, $(ax+b)^2=a^2 x^2 +2abx + b^2$ no puede ser un múltiplo de $x^2-1$ si $2ab=0$.

En el carácter $2$,$F[x]=F[x-1]$$x^2-1=(x-1)^2$. Esto es suficiente para establecer el isomorfismo.