¿Por qué la inversa de una suma de matrices no es la suma de sus inversas?

Question

Supongamos que $A + B$ es invertible, entonces es cierto que $(A + B)^{-1} = A^{-1} + B^{-1}$ ?

Sé que la respuesta es no, pero no entiendo por qué.

Answer 1

Veamos la a menudo olvidada $1 \times 1$ matrices sobre $\mathbb{R}$ que es otro nombre para los propios números reales. Entonces tu afirmación se traduce en la afirmación de que si $x,y$ son números reales que no son cero, entonces $$ \frac{1}{x + y} = \frac{1}{x} + \frac{1}{y},$$ lo cual es claramente erróneo.

Answer 2

$$(A+B)(A^{-1}+B^{-1})=2I+AB^{-1}+BA^{-1}$$ por lo que su afirmación es cierta si y sólo si $I+AB^{-1}+BA^{-1}=0$ (lo que, por supuesto, no siempre es cierto, e incluso suele ser erróneo).

Answer 3

Para rematar la lista de ejemplos, toma $A=I$ y $B=-I$ . Entonces las dos matrices son invertibles pero su suma no lo es.

Answer 4

Por ejemplo $A= I$ (la identidad) y $B = 0$ (la matriz con $0$ en todas partes). A continuación, $A+B$ es invertible sin embargo $B^{-1}$ no existe, por lo que la afirmación no tiene sentido.

NOTA @JeppeStigNielsen pregunta en el comentario si podemos encontrar matrices para las que la igualdad sea cierta. Aquí hay una forma de construir tal par. Por la respuesta de @anderstood, sabemos que tenemos que encontrar $A,B$ tal que $AB^{-1}+BA^{-1}+I=0$ . Dejemos que $C= AB^{-1}$ entonces esta ecuación se puede reescribir como $C+C^{-1}+I = 0$ . Supongamos que $C = \gamma I$ para algunos $\gamma \in \Bbb C\setminus \{0\}$ Entonces obtenemos la ecuación $\gamma^2+\gamma+1=0$ y así $\gamma \in \{e^{2\pi i/3},e^{4\pi i /3}\}$ . Ahora queda encontrar matrices invertibles $A,B$ tal que $A^{-1}B = \gamma$ y $B^{-1}A=\gamma^{-1}$ . De nuevo, supongamos que $A = \alpha I$ y $B = \beta I$ para algunos $\alpha,\beta \in \Bbb C\setminus \{0\}$ . Por lo tanto, necesitamos $\alpha\beta^{-1} = \gamma$ y $\beta \alpha^{-1}=\gamma^{-1}$ (nótese que estas ecuaciones son equivalentes). Así que podemos elegir $\alpha \in \Bbb C\setminus \{0\}$ y establecer $\beta = \alpha\gamma^{-1}$ . Esto da una familia completa de matrices para las que la ecuación es verdadera. Ejemplo: $A = I,B=e^{-2\pi i/3}I$ entonces $$(A+B)^{-1}=(1+e^{-2\pi i /3})^{-1}I=(1+e^{2\pi i /3})I = A^{-1}+B^{-1}.$$

Answer 5

Para responder directamente a su pregunta $$(A+B)^{-1} \neq A^{-1} + B^{-1}$$ porque $$([1] + [1])^{-1} \neq [1]^{-1} + [1]^{-1}.$$

Para responder a la pregunta ligeramente diferente de "¿Por qué no puedo hacerlo?"

1. Toda afirmación es desconocida hasta que se demuestre que es verdadera o falsa.
2. Si una afirmación es desconocida o falsa, no se puede utilizar.
3. $\therefore$ Toda afirmación es inutilizable hasta que se demuestre que es cierta.

Por lo tanto, en general es mejor preguntar por qué se puede hacer algo, en lugar de preguntar por qué no se puede hacer eso. Así que la razón por la que no se puede sustituir $(A+B)^{-1}$ con $A^{-1} + B^{-1}$ es porque no ha demostrado $(A+B)^{-1} = A^{-1} + B^{-1}$ es verdadera (ni se puede demostrar que es verdadera porque es falsa).

Así que mi consejo es que no intentes memorizar que esta afirmación es falsa, más bien trátala como desconocida y por lo tanto inutilizable; porque hay demasiadas afirmaciones falsas inútiles para memorizar, así que es mejor centrarse en memorizar las afirmaciones verdaderas

Ahora bien, en cuanto a por qué [mi prueba de que es falsa] es correcta. La afirmación $(A+B)^{-1} = A^{-1} + B^{-1}$ es realmente la declaración universal $$\forall A, \forall B, (A+B)^{-1} = A^{-1} + B^{-1}.$$ Refutar esta afirmación universal es lo mismo que demostrar esta afirmación existencial $$\exists A, \exists B, (A+B)^{-1} \neq A^{-1} + B^{-1}.$$ Por último, para demostrar un enunciado existencial, basta con dar un ejemplo, cosa que he hecho.