¿Cuáles son las razones técnicas por las que debemos definir los vectores como "flechas" y distinguirlos cuidadosamente de un punto?

Question

He pensado en plantear esta cuestión en math.SE, ya que podría suscitar un debate interesante.

Cuando aprendí vectores por primera vez -hace mucho tiempo y en el instituto- el libro de texto y los profesores solían siempre introducirlas como una "cantidad con magnitud y dirección"

Esta definición siempre me ha molestado. Parece favorecer la definición "polar" de un vector y luego enseñar "pero tiene componentes cartesianas [x_0, x_1 ... x_n] así"

Sentí que había alcanzado un gran avance personal cuando me di cuenta de que "Un vector es una generalización dimensional superior de un 'número', 'valor' o 'cantidad'".

Siempre he pensado así de ellos.

Por ejemplo, el número cinco puede considerarse un vector unidimensional: <5>.

< . . . . . 0---------> . . .>
            0         5

Al igual que el vector <5,5> es un análogo bidimensional de esta noción. Sucede que las circunstancias cambian de forma sutil - (la capacidad de tener una 'distancia' o 'valor absoluto' diferente de cualquiera de los componentes y la noción de una dirección cuando se grafica).

Además, parece que todos los profesores se cuidan mucho de distinguir un vector de un punto. Sin embargo, esto parece trivial en concepto, ya que no distinguiríamos "la posición '5' en una recta numérica" de "el valor 5" o "la distancia de cero a 5"

¿Por qué se favorece la definición de "magnitud y dirección"?

Answer 1

Si tenemos un espacio sin origen, podemos tener puntos situados relativamente entre sí, y las diferencias entre estos puntos pueden ser vectores. Esto está relacionado con la distinción entre afín y euclídeo.

Answer 2

Me haces varias preguntas relacionadas, así que me limitaré a la del título. En resumen, distinguimos entre vectores y puntos porque se pueden sumar vectores, pero no puntos.

Te oigo decir "¡Claro que puedo añadir puntos! Mira, yo sólo cojo los componentes y los sumo, así de fácil". Pero, ¿de dónde has sacado esos componentes? Primero tuviste que elegir algún sistema de coordenadas. En concreto, has tenido que elegir un origen entonces eliges ejes que salen de ese origen. Cuando haces esto, en realidad ya no estás añadiendo puntos, ¡estás añadiendo vectores! Es decir, los vectores que parten del origen y terminan en tus puntos. Si eliges un origen diferente, obtienes un noción diferente de suma de esta manera.

Esto tiene una importancia real. Por ejemplo, no tiene ningún sentido sumar dos niveles de energía de un sistema físico porque no existe un "origen" físicamente significativo para los niveles de energía; puedes tomar todos los valores de energía que te interesen y sumar la misma constante a cada uno de ellos y no habrá ninguna diferencia física. Sin embargo, sí tiene sentido reste dos niveles de energía; una diferencia entre niveles de energía es realmente un número real (es decir, un vector unidimensional).

Los términos matemáticos que hay que buscar aquí son espacio vectorial y espacio afín .

Answer 3

¿Por qué se favorece la definición de "magnitud y dirección"?

No lo es. Los matemáticos suelen pensar en los vectores como objetos abstractos, que viven en lo que se llama un espacio vectorial . Esencialmente, los vectores son cosas que podemos sumar y que podemos multiplicar por escalares. Muchos consideran que el tratamiento de los vectores como flechas es más sencillo de enseñar, pero se rompe cuando se trata de ejemplos más complicados. Por ejemplo, los números reales forman un espacio vectorial infinito sobre los números racionales, pero no hay una forma clara de considerarlos "flechas".

Answer 4

En gráficos 2D, un vector se considera inmune al componente de traslación en una transformación de coordenadas afín. Una transformación afín puede descomponerse en un vector de traslación (cuánto se desplaza el origen) y una matriz de transformación lineal 2x2 (combinación de efectos de escala, rotación y/o cizalladura). Cuando un vector es transformado, no es desplazado por la traslación porque no tiene "lugar"; pero está sujeto a efectos de escala, rotación y cizalladura.

Answer 5

Cuando aprendiste por primera vez sobre vectores en el instituto, probablemente no estabas en clase de Matemáticas. Muy probablemente estabas en la clase de introducción a la Física. Si publicaras esta pregunta en http://Physics.stackexchange.com obtendrías la respuesta: "Porque un vector ES una representación de magnitud y dirección".

Doblamos nuestras herramientas para adaptarlas a nuestro ámbito problemático. Y en física, el modelo de magnitud y dirección de un vector es el modelo útil.