¿Hay algún totalmente analíticamente solucionable osciladores no lineales?

Question

Estoy tratando de encontrar un simple problema unidimensional, en el que una partícula oscila con un poco de energía, y el período de oscilación dependerá de partículas de energía (a diferencia de en el oscilador armónico). Yo podría tomar cualquier posible, diferente de la parabólica, y por hacer, pero todos los potenciales parecen no conducir a la explícita la forma cerrada de las soluciones.

He intentado varios $x^\alpha$ potenciales, intentó radial Kepler potencial efectivo $K/r^2-Q/r$, algunos otros, pero todos parecen dar $t(x)$ en lugar de un explícito $x(t)$ como formas cerradas.

Otro camino podría ser el uso potencial de $\propto|x|$, y de considerar a trozos, pero la solución se convierte rápidamente en muy feo y requiere el uso de funciones tales como $\min$, $\max$ etc., estorbar la expresión final de un lote.

Así que mi pregunta es: hay alguna forma de potencial, para el que la ecuación de movimiento sería solucionable en simple explícita la forma cerrada $x(t)$, y en el mismo período de tiempo dependerá de la energía?

Answer 1

Tal vez el péndulo sería un ejemplo interesante. La ecuación de movimiento de un péndulo ideal de longitud $\ell$ en un uniforme de campo de gravedad es

$${d^2\theta\over dt^2}+{g\over \ell} \sin\theta=0$$

Es bien sabido que en el pequeño ángulo de aproximación a esto se reduce a un oscilador armónico, sino que precisa de la solución implica elíptica integrales, y puede ser expresado en la recíproca de tales integrales, que se llaman funciones elípticas. Esta clase de funciones era un objeto de intenso estudio en el siglo 19, y varios especiales de las formas concretas de nombres. En particular, el péndulo puede ser resuelto en términos de un Jacobi elíptica de la función.

Answer 2

La respuesta a esta pregunta depende de un montón sobre lo que significa "forma cerrada" soluciones.

Considerar el nivel de oscilador armónico, donde la solución es $$x(t) = A \cos(\omega t + \phi) \, .$$ En qué sentido, si alguna, se trata de una "forma cerrada"? Que $\cos$ función está definida en términos de potencia de la serie $$\cos(x) \equiv \sum_{n=0}^\infty (-1)^n \frac{x^{2n}}{(2n)!} \, .$$ Muchas de las ecuaciones diferenciales pueden ser resueltos con poder serie de métodos, y en los casos donde el resuelto la ecuación es importante que aquellos de alimentación de la serie de soluciones tienden a obtener Nombres Extravagantes$^{\text{TM}}$ como "funciones de Bessel", "Jocobi elíptica funciones" (ver doetoe de la respuesta), etc. Aquellas otras funciones especiales no son realmente menos de primaria de $\sin$$\cos$: tienen relaciones de recurrencia, integridad/ortogonalidad de las relaciones, y razonablemente simple transformación bajo derivados, etc.

Usted puede también utilizar siempre el equilibrio armónico para escribir la (homogéneo), la solución de un oscilador en términos de una serie de Fourier.

A un lado:

La razón por la $\sin$ $\cos$ preferido es el que se forma un circuito cerrado por debajo de la base de tiempo de la traducción: $$\cos(t + \delta t) = A \cos(t) - B \sin(t)$$ donde$A = \cos(\delta t)$$B = \sin(\delta t)$. Esto los hace agradable en sistemas donde las ecuaciones del movimiento en sí, son la traducción en tiempo invariante porque todo el tiempo de derivados gire $\cos$ $\sin$ en cada uno de los otros.