Encontrar $\lim_{n \to \infty} n \int_0^1 (\cos x - \sin x)^n dx$

Question

Encontrar:

$$\lim_{n \to \infty} n \int_0^1 (\cos x - \sin x)^n dx$$

Este es uno de los problemas que tengo que resolver para que pudiera unirse a la universidad. He intentado usando integración por partes, he intentado utilizar notaciones pero nada funciona. Si alguien pudiera ayudarme por favor me gustaría profundizar en ella. ! gracias de antemano ! Sé que la respuesta que el límite es 1. Pero necesito ayuda para probarlo.

Answer 1

escribir el integrando como $(\cos(x)-\sin(x))^n=e^{n\log(\cos(x)-\sin(x))}$. Mirando un par de parcelas se convierte inmediatamente en claro la integral será dominada por una pequeña región alrededor del origen con la anchura $\epsilon\sim1/n$$n \rightarrow\infty$. El más formal de la razón de esto es, que el exponente es casi cero alrededor del origen

$$ I_n=\int_0^1(\cos(x)-\sin(x))^n\sim \int_0^{\epsilon}e^{n\log(\cos(x)-\sin(x))} $$

Expansión de Taylor de la exponente rendimientos

$$ I_n\sim\int_0^{\epsilon}e^{-x n} $$

empujando $\epsilon$ hasta el infinito presentamos sólo una exponencialmente pequeño error, por lo que

$$ I_n \sim\int_0^{\infty}e^{-x n}=\frac{1}{n} $$

que los rendimientos de

$$ \lim_{n \rightarrow \infty} n I_n=1 $$

Answer 2

$$\lim_{n \to \infty} n \int_0^1 (\cos x - \sin x)^n dx = \lim_{n \to \infty} \int_0^1 n(\cos x - \sin x)^n dx =\lim_{n\to\infty}f(x)$$

Pruebe usando integración por partes en $f(x)$;

$$\int_0^1 v du =uv|_0^1 - \int_0^1 u dv$$ for suitable choices of $u$ and $v$

O utilizar una sustitución para simplificar $f(x)$.

A continuación, ver si converge a través de $f(x=\infty)$.

Un tercer método sería utilizar el teorema fundamental del cálculo.

Cuarto método sería una identidad trigonométrica para simplificar la $\cos x - \sin x$