$\newcommand{\s}{\sigma}$$\newcommand{\e}{\eta}$$\newcommand{\al}[1]{\begin{align}#1\end{align} }$Según lo sugerido por Norbert Schuch en los comentarios, es suficiente para comprobar que las derivadas con respecto a $\eta$ está de acuerdo. Esto simplifica nuestra tarea un poco por deshacerse de uno de los logaritmos en el integrando.
A partir de la expresión de la derivada por JJacquelin, tenemos para el caso de $0 \leq \e < \pi/2$:
$$
\al{
I_1'(\e) y= -\frac{\tan \frac \e 2}{8} \int_0^\d\e \frac{ \cos \frac{t}{2} \left[2+ \cos t+2 \cos t \ln (2-2\cos t)\right]}{ \sqrt{\cos^2 \frac t 2 - \cos^2 \frac \e 2}}
\\&= -\frac{\tan \frac \e 2}{8} \int_0^\d\e\frac{ \cos \frac{t}{2} \left[2 + (1 - 2 \sin^2 \frac t 2)+2 (1 - 2 \sin^2 \frac t 2) \ln (4 \sin^2 \frac t 2)\right]}{ \sqrt{\sin^2 \frac \e 2 - \sin^2 \frac t 2}}
\\&= -\frac{\tan \frac \e 2}{8} \int_0^1 dx\frac{ 2\left[3 - 2 x^2 \sin^2 \frac \e 2+2 (1 - 2 x^2 \sin^2 \frac \e 2) \ln (4 x^2 \sin^2 \frac \e 2)\right]}{ \sqrt{1 - x^2}}
\\&\equiv -\frac{\tan \frac \e 2}{4} I
}
$$
Aquí os pongo $\sin \frac t 2 = x \sin \frac \e 2 $, y no hay límite de plazo, ya que el integrando se desvanece en $t = \e$.
Ahora podemos abreviar $\s = \sin \frac \e 2$ para mayor claridad. Tenemos
$$
I = A+B+C+D+E+F,
$$
con
$$
\al{
&Un=\int_0^1 dx \frac{3}{\sqrt{1-x^2}}=\frac{3\pi}{2}
\\&B=\int_0^1 dx \frac{-2 \s^2 x^2}{\sqrt{1-x^2}}= -\frac \pi 2 \s^2
\\&C=\int_0^1 dx \frac{2 \ln (4\s^2)}{\sqrt{1-x^2}}= \pi \ln (4\s^2)
\\&D=\int_0^1 dx \frac{4 \ln x}{\sqrt{1-x^2}}= 4 \int_0^{\pi/2} dt \ln \sen t = -\pi \ln 4
\\&E=\int_0^1 dx \frac{-4x^2 \s^2 \ln(4\s^2)}{\sqrt{1-x^2}}= -\pi \s^2 \ln (4\s^2)
\\&F=\int_0^1 dx \frac{-4x^2 \s^2 (2 \ln x)}{\sqrt{1-x^2}}= -8 \s^2 \int_0^{\pi/2} dt \sin^2 t\ln \sen t = \pi \s^2 (\ln 4-1).
}
$$
Por lo tanto,
$$
I = \pi(1-\s^2) \left[ \frac{3}{2} + 2 \ln \s \ \ derecho] = \pi \cos^2 \frac \e 2 \left[ \frac{3}{2} + 2 \ln \sin \frac \e 2\right].
$$
Esto le da
$$
I_1'(\e) = -\frac \pi 4 \sin \frac \e 2 \cos \frac \e 2 \left[ \frac{3}{2} + 2 \ln \sin \frac \e 2\right] = -\frac \pi 8 \sin \e \left[ \frac{3}{2} + 2 \ln \sin \frac \e 2\right].
$$
Esto está de acuerdo con el derivado de los resultados deseados.
El caso de $\pi/2 \leq \eta \leq \pi$ puede ser tratada de la misma manera; la única cosa que cambia es que ahora no podemos asumir que $\cos^2 \frac t 2 > \cos^2 \frac \e 2$ en todas partes.
