Qué condiciones son suficientes para que "Básicamente desconexión implica Extremally desconexión"?

Question

Recordemos la definición de básicamente desconectado:

Un espacio es básicamente desconectado si cada cozero-set tiene un cierre.

Existe Básicamente desconectado espacio que no es extremally desconectado; el punto de Lindelöfization de un incontable espacio discreto es un espacio de este tipo.

Pero con qué condiciones, básicamente, desconexión no implica extremally desconexión?

Gracias.

Answer 1

Completamente normal y, básicamente, desconectado da muy desconexión, desde entonces abrir todos los conjuntos son cozero conjuntos. A partir de los contraejemplos, suena como segundo countability y algunos separtion axioma puede ser un requisito (que implicaría normal), así que no estoy seguro de que usted puede conseguir nada más nítida de que estando tan general.

Edit: me di cuenta de que estaba equivocado en los comentarios. Quería encontrar las condiciones para abrir todos los conjuntos de cozero conjuntos; sin embargo, si hay funciones $f,g$ que son cero, precisamente, en $A$$B$, $f/(f+g)$ da una función que es $0$ precisamente en $A$ y 1 precisamente en $B$, por lo tanto tenemos la normalidad. Además, estos conjuntos deberán ser $G_{\delta}$'s, ya que son la intersección de preimages de abrir establece en el intervalo. Así, un espacio en el hecho de ser $T_6$ para todos los abiertos de los conjuntos de cozero conjuntos, así que mi enfoque no funciona.