Dejemos que $\mathbb{F}$ sea un campo y $R=\mathbb{F}[x]$ el anillo de polinomios sobre $\mathbb{F}$ . Es el ideal $(x^2-1)$ máximo en $R$ ?

Question

Dejemos que $\mathbb{F}$ sea un campo y $R=\mathbb{F}[x]$ el anillo de polinomios sobre $\mathbb{F}$ . Es el ideal $(x^2-1)$ máximo en $R$ ? ¿Depende la respuesta de $\mathbb{F}$ ?

Pienso en este isomorfismo $\mathbb{F}[x]/(x^2-1) \cong \mathbb{F}[i]$ donde $\mathbb{F}[i]=\lbrace a+bi:a,b \in \mathbb{F} \rbrace$ . Desde $\mathbb{F}[i]$ es un campo (que no estoy muy seguro de ello), $(x^2-1)$ es máxima.

¿Puede alguien explicarme si $\mathbb{F}[i]$ es un campo o no.

Answer 1

Una pista:

$$x^2-1=(x-1)(x+1)\implies x-1+\langle x^2-1\rangle \;\;\text{is a divisor of zero in}\;\;\Bbb F[x]/\langle x^2-1\rangle\ldots$$

Answer 2

Una pista: Si es así, la estructura del cociente es un campo. Pero la estructura cociente tiene cero divisores.

También podemos resolver el problema "desde la definición", sin citar el resultado anterior. Demostrar que $(x-1)$ es un ideal que contiene adecuadamente $(x^2-1)$ .

Answer 3

Si $p(x)$ es irreducible sobre un campo $F$ entonces el ideal generado por $p(x)$ es máxima. Si $p(x)$ reducible, el ideal no es máximo. Además, si $F$ es un anillo conmutativo con unidad, $F/J$ es un campo si y sólo si $J$ es un ideal máximo. Así que para demostrar $F[x]/(x^2 - 1)$ no es un campo, demuestre que $x^2 -1$ es reducible sobre $F$ .

Answer 4

Mientras que $(x^2 - 1)$ no es nunca máxima, no ocurre lo mismo con $(x^2 + 1)$ :

Si $\mathbb{F} = \mathbb{C}$ entonces $(x + i)(x - i) = (x^2 + 1)$ así que $\mathbb{C}[x]/(x^2 + 1)$ ni siquiera es un dominio integral.

Sin embargo, si $\mathbb{F} = \mathbb{R}$ entonces el mapa $f: \mathbb{R}[x] \rightarrow \mathbb{C}$ dado por $f(x) = i$ , $f(r) = r$ para $r \in \mathbb{R}$ es un homomorfismo de anillo suryente con núcleo $(x^2 + 1)$ y así $\mathbb{R}[x]/(x^2 + 1)$ es un campo, por lo que $(x^2 + 1)$ es un ideal máximo.

(En general, $(x^2 + 1)$ es máxima en $\mathbb{F}[x]$ si no existen soluciones para $x^2 + 1$ en $\mathbb{F}$ .)

Estoy publicando esto porque el hecho de que el OP habla de $\mathbb{F}[x]/(x^2-1) \cong \mathbb{F}[i]$ sugiere que podría haber querido decir $(x^2+1)$ en primer lugar.

Answer 5

Sugerencia $\rm\,\ (x^2\!-\!1)\:$ no es máxima, ya que $\rm (1)\supsetneq (x\!-\!1)\supsetneq (x^2\!-\!1)\ $ por $\rm\ 1\mid x\!-\!1\mid x^2\!-\!1\:$ todo correctamente .

Nota: $\ $ Para los ideales principales: $ $ contiene $\equiv$ divide es decir $\rm\: (a)\supseteq (b)\!\iff\! a\mid b.\:$ Así, al no tener adecuado que contenga el ideal (máximo) equivale a no tener adecuado divisor (irreducible).