Voy a hacer el caso de que $n=1$, con un poco más de generalidad: vamos a $F$ ser un álgebra sobre un campo de característica cero,
y deje $A=F[x,\partial]$ ser el álgebra de Weyl sobre el ring $F$.
Si $a\in A$, existe únicas $k\geq-0$ y polinomios $f_0,\dots,f_k\in F[T]$ tal que $a=\sum_{i=0}^kf_i(x)\partial^i$.
Supongamos que $a$ es central.
Uno puede calcular fácilmente que $[\partial,f(x)]=f'(x)]$ para cada polinomio $f\in F[x]$, por lo que $$[\partial, a]=\sum_{i=0}f_i'(x)\partial^i.$$ Since $un$ is central, this is zero, so we must have $f_0'(x)=\dots=f_k'(x)=0$, and therefore the $f_i$ are constant polynomials. It follows that $a=g(\partial)$ for some polynomial $g\in F[T]$. Now another easy computation shows that $$[x,a]=g'(\partial)]$$ and this again is zero because $un$ is central. This means that $g$ is constant, so $$ is in $F$. Since $$ is central in $$, it is central in $F$.
De ello se deduce que el centro de la $A$ es el centro de la $F$.
Ahora, podemos probar que el centro de la habitual álgebra de Weyl $A_n=k[x_1,\dots,x_n,\partial_1,\dots,\partial_n]$ sobre un campo $k$ de característica cero tiene centro de $k$ por inducción. De hecho, es evidente que existe una isomorfismo $$A_n=A_{n-1}[x_n,\partial_n]$$ so that the above reasoning shows that the center of $A_n$ is the center of $A_{n-1}$. Since the center of $A_0$ is $k$, esto demuestra lo que queremos.
