Cómo mostrar $\mathbb{CP}^{2}\#\overline{\mathbb{CP}^{2}}\not\cong \mathbb{S}^{2}\times \mathbb{S}^{2}$?

Question

Me pidió que demostrar que $$\mathbb{CP}^{2}\#\overline{\mathbb{CP}^{2}}\not\cong \mathbb{S}^{2}\times \mathbb{S}^{2}$$ as fibre bundles over $\mathbb{S}^{2}$ with fibre $\mathbb{S}^{2}$. Desde conectado suma es como colectores en lugar de como haces, no es claro para mí, como para demostrar que a través de métodos de primaria.

Aquí están algunas ideas:

1) puedo probar que ellos no homotópica como colectores? Si son homotópica como haces de fibras, entonces deben ser homotópica como colectores, así. Por lo tanto, dado que todos los algebraicas invariantes en el lado derecho es relativamente fácil de calcular, yo debería ser capaz de resolver el problema. Sin embargo, no está claro para mí cómo el subyacente holomorphic estructura de $\overline{\mathbb{CP}^{2}}$ influencia de la estructura. Por ejemplo, desde la $\mathbb{CP}^{2}, \mathbb{S}^{2},\overline{\mathbb{CP}^{2}}$ son simplemente conectado, no podemos obtener cualquier información de $\pi_{1}$. Para $\pi_{2}$ sabemos $\pi_{2}(\mathbb{S}^{2}\times \mathbb{S}^{2})=\pi_{2}(\mathbb{S}^{2})\times \pi_{2}(\mathbb{S}^{2})=\mathbb{Z}\times \mathbb{Z}$ a través de Hurewitz del teorema. Pero computación $$\pi_{2}(\mathbb{CP}^{2}\#\overline{\mathbb{CP}^{2}})$$ seem to be nontrivial even if one use Ryan Budney's method (http://mathoverflow.net/questions/93282/homotopy-groups-of-connected-sums) because they are both simply connected. We can also compute the homology, but it is not clear to me what kind of space is $\mathbb{CP}^{2}-\mathbb{D}^{4}$. If we view $\mathbb{CP}^{2}\cong \mathbb{CP}^{1}\cup \mathbb{C}^{2}$ with the attaching map given by $\mathbb{S}^{3}\rightarrow \mathbb{S}^{2}$, then remove $\mathbb{D}^{4}$ seems to be giving us $\mathbb{CP}^{1}$ de nuevo. Pero esto no es riguroso.

El uso de las sugerencias por aquí (Computación en la homología y la cohomology de conexión de la suma) se parece a $H_{2}$ nivel en el que vuelven a coincidir: el resultado es $\mathbb{Z}\oplus \mathbb{Z}$.

La cosa más importante es que me di cuenta de que yo no uso el conjugado de relación en los argumentos anteriores. Así que debe haber algo que falta aquí. Supongo que puedo intentar calcular $\pi_{3}$$\pi_{4}$. Ya que son CW Complejos, deben diferir en algún punto de lo contrario se violaría Whitehead del thoerem.

2) puedo demostrar esto a través de cohomological métodos como el de Chern de clase? De nuevo, no sé cómo calcular...

Answer 1

Parece que la intersección que se forma en la segunda cohomology es, de hecho, lo suficiente como para distinguir a estos de 4 colectores, mientras que el uso de coeficientes enteros. (No estoy seguro de por qué no pensé en eso antes, ya que por Freedman los resultados de este es la primera cosa que uno debe comprobar.)

Todos cohomology es con $\mathbb{Z}$ de los coeficientes. Su colectores son orientables, por lo que una opción de orientación en cada uno de ellos induce a una intersección en forma

$H^{2}(M) \times H^{2}(M) \rightarrow H^{4}(M) \rightarrow \mathbb{Z}$

dada por la copa del producto y, a continuación, la evaluación en la clase fundamental. (Ver: Wikipedia - Intersección de formulario).

La intersección de la forma de $\mathbb{CP}^{2}$$(-\mathbb{CP}^{2})$% es decir, a una señal dada por

$\left( \begin{array}{ccc} 1 & 0 \\ 0 & -1 \end{array} \right)$,

de manera intuitiva desde la plaza de el generador de $H^{2}(\mathbb{CP}^{2})$ es igual a $1$ y de la plaza de el generador de $H^{2}(-\mathbb{CP}^{2})$ es de -1 a causa de la orientación invertida.

Por otro lado, la intersección en forma de $S^{2} \times S^{2}$ es, a una señal dada por

$\left( \begin{array}{ccc} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{array} \right)$,

ya que si $h_{1}, h_{2}$ son los generadores de $H^{2}(S^{2})$ de la primera, resp. segunda copia de $S^{2}$, $h_{1} \cup h_{2}$ es la generación de $4$-celda de $H^{4}(S^{2} \times S^{2})$, pero $h_{i}^{2} = 0$ dimensional de razones. Desde un elemento general de la $H^{2}(S^{2} \times S^{2})$ puede ser escrito como $ah_{1} + bh_{2}$ $a, b \in \mathbb{Z}$ y

$(ah_{1} + bh_{2})^{2} = a^{2}h_{1} ^{2} + b^{2} h_{2}^{2} + 2ab h_{1} h_{2} = 2ab$

uno ve que no hay ningún elemento de $H^{2}(S^{2} \times S^{2})$ que corresponde a un número impar, en marcado contraste con la intersección de la forma en $\mathbb{CP}^{2}$$(-\mathbb{CP}^{2})$%. Esto demuestra que estos dos colectores no son ni siquiera homotopy equivalente, por lo que en particular no diffeomorphic.