Cómo demostrar que no hay soluciones a $a^2 - 223 b^2 = -3$.

Question

Como sugiere el título, estoy tratando de demostrar que no hay soluciones a $a^2 - 223b^2 = -3$ ( $a,b\in \mathbb{Z}$ ). Normalmente, teniendo ambos lados $\mod n$ para la inteligente elección de $n$ demuestra que no existen soluciones, pero he probado este método para $n = 2$ a través de $18$, y todos tienen soluciones. Por otra parte, tenemos que \begin{align} \left(\frac{-3}{223} \right) &= \left(\frac{220}{223} \right)=\left(\frac{55}{223} \right) = \left(\frac{11}{223}\right)\left(\frac{5}{223}\right) \\ &= -\left(\frac{223}{11}\right)\left(\frac{223}{5}\right) = -\left(\frac{3}{11}\right)\left(\frac{3}{5}\right) \\ &= -(1)(-1) = 1, \end{align} por lo $-3$ es un cuadrado de $\mod 233$, por lo que Legendre símbolos no son de tanta ayuda.

Supongo que si puedo mantener a tomar ambos lados $\mod n$ cada vez más grande $n$, que finalmente va a obtener la respuesta, pero debe haber una forma más inteligente de hacer esto. Cualquier ayuda es muy apreciada.

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Como un poco de fondo, esto surgió en una prueba de que el ideal de la clase de $\mathbb{Z}[\sqrt{223}]$$\mathbb{Z}/3\mathbb{Z}$. En este post, el OP casualmente los estados que no hay ningún elemento de norma $-3$, y esto no es un hecho evidente para mí.

Answer 1

Buscando en la continuación de la fracción de $\sqrt{223}$, esto es bastante claro.

La continuación de la fracción de $\sqrt{223}$ es $$ (14;\overbrace{1,13,1,28}^{\large\text{repetir}}) $$ Si $223q^2-p^2=3$, tenemos $\left|\,\frac pq-\sqrt{223}\,\right|\lesssim\frac1{10q^2}$ y que sólo puede ocurrir cuando el próximo continuant es $13$ o $28$. Esto sólo sucede en las estimaciones; es decir, cuando $\frac pq\gt\sqrt{223}$.

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Por ejemplo,
$(14)=14$ es una estimación, pero no es lo suficientemente cerca: $223\cdot1^2-14^2=27$
$(14;1)=15$ está lo suficientemente cerca, pero es una sobreestimación: $223\cdot1^2-15^2=-2$
$(14,1,13)=\frac{209}{14}$ es una estimación, pero no es lo suficientemente cerca: $223\cdot14^2-209^2=27$
$(14;1,13,1)=\frac{224}{15}$ está lo suficientemente cerca, pero es una sobre estimación: $223\cdot15^2-224^2=-1$

Answer 2

Equivalentemente, no debe haber soluciones a

223a^2 - b^2 = 3

El binario de forma cuadrática 223x^2 - y^2 tiene discriminante 892. Porque 892 es un cuadrado modulo 3, hay alguna forma de discriminante 892 que representa el 3. Sin embargo, resulta que hay algunas formas de discriminante 892 que representan el 3 y algunos que no. Para distinguir los dos va a tomar mucho más profundo que simplemente considerar congruencias o el símbolo de Legendre y en la teoría de la formas cuadráticas binarias. Si usted no sabe mucho de esta teoría, yo recomiendo el libro "los números Primos de la forma x^2 + ny^2" por la Cox.

El uso de Zagier la teoría de la reducción, que nos pueden dar razonablemente simple comprobación de que el 3 no puede ser representado por 223x^2 - y^2. Zagier demuestra en su libro de 1981 "Zetafunktionen und quadratische körper" que cada representación $n= 223x^2 - y^2$ será el equivalente a una única representación $n = f(u,v)$ donde $f$ tiene la forma $Ax^2 + Bxy + Cy^2$ con $A > 0$, $C > 0$, y $B > A+C$; $f$ está en la misma clase de equivalencia como $223x^2 - y^2$; y $u$ $v$ son enteros con $u > 0$ $v \geq 0$ . El uso de Keith Mateo de la herramienta en:

http://www.numbertheory.org/php/reducepos2.html

o de trabajo a mano, uno puede calcular que hay 41 Zagier-formas reducidas en cuanto a la equivalencia de la clase de 233x^2 - y^2, y el menor coeficiente que aparece es de 27. Claramente, no hay manera de representar el 3 por ejemplo un formulario utilizando números enteros no negativos $u$$v$, así que no hay tal representación existe.

(Por cierto, una forma de discriminante 892 que no representan el 3 es, por ejemplo, $3x^2 + 26xy - 18 y^2$.)

Edit: en respuesta a la motivación que se suministra en la edición de tu post:

Usted puede probar usando binario cuadráticas formas que el grupo de clase de $K = \mathbb{Q}(\sqrt{223})$ $\mathbb{Z}/3\mathbb{Z}$ sin referencia a la Minkowski obligado. Uno puede calcular las clases de equivalencia de formas de discriminante 892 (el discriminante de $K$) por métodos estándar y encontrar que hay 6 clases. El grupo de clase de las formas es isomorfo a la estrechez del grupo de clase de $K$, que es el mismo tamaño que el grupo de clase o el doble del tamaño. Ellos son del mismo tamaño, si y sólo si la unidad fundamental de $K$ norma $-1$.

Un cálculo que muestra la unidad fundamental de la es $224+15\sqrt{223}$, que tiene norma 1, por lo que el grupo de clase de $K$ es la mitad del tamaño del grupo de formas. Así, ha pedido a $3$.

Answer 3

Me discutir la asignación explícita a los ideales en http://math.blogoverflow.com/2014/08/23/binary-quadratic-forms-over-the-rational-integers-and-class-numbers-of-quadratic-%EF%AC%81elds/

No habrá una prueba de ello sólo por congruencias. El problema es que $-3$ realmente está representado por una forma en el género principal de este discriminante. El género completo (estos son de Gauss-Legendre formas reducidas, $ax^2 + bxy + c y^2$$ac <0$$b > |a+c|$) es

1.             1          28         -27   cycle length             4
2.            -3          28           9   cycle length             6
3.             9          28          -3   cycle length             6

el otro género es

4.            -1          28          27   cycle length             4
5.             3          28          -9   cycle length             6
6.            -9          28           3   cycle length             6

El formalismo de la cuadrática campos no distingue entre los dos géneros. Este cálculo de clases salió muy bien, en que de Dirichlet de la descripción de la composición de Gauss, por la formas cuadráticas binarias, muestra que $$ \langle A,B,A^2 \rangle $$ or $Ax^2 + B xy+ A^2 y^2,$ with $\gcd(a,B) =1,$ satisface grupo de leyes $$ \langle A,B,A^2 \rangle^2 = \langle A^2,B,A \rangle $$ $$ \langle A,B,A^2 \rangle^3 = \langle A^3,B,1 \rangle = \langle 1,B,A^3 \rangle $$ y aquí $A=-3, B=28.$

Fracciones continuas, para $\sqrt {223},$ mostrar los números pequeños (valor absoluto a a $\sqrt {223}$ ) que son primitivamente representado por $x^2 - 223 y^2,$

jagy@phobeusjunior:~/old drive/home/jagy/Cplusplus$ ./Pell 223


0  form   1 28 -27   delta  -1
1  form   -27 26 2   delta  13
2  form   2 26 -27   delta  -1
3  form   -27 28 1   delta  28
4  form   1 28 -27

y de esa lista es sólo $1,2,$