posibles valores propios de a $A$

Question

Deje $A$ $n\times n$ matriz tal que $A^2=A^t$. Demostrar que es posible real de los autovalores de a$A$$0,1$.

Deje $\lambda$ ser un autovalor de a $A$ $\lambda^2$ es autovalor de a $A^2$.

Como $A^2=A^t$, $\lambda^2$ es autovalor de a $A^t$..

Autovalor de a $A$ son los mismos que autovalor de a $A^t$..

Así, el real autovalores de a$A^t$$\{\lambda_1,\cdots,\lambda_r,\lambda_1^2,\cdots,\lambda_r^2\}$.

Como el número de la real de los autovalores son fijos debemos tener $\lambda_i^2=\lambda_i$ o $\lambda_j$ o $\lambda_j^2$..

$\lambda_i^2=\lambda_j^2$ $\lambda_i\neq \lambda_j$ implica $\lambda_i=-\lambda_j$ yo no veo ninguna contradicción aquí..

$\lambda_i^2=\lambda_j$ no sé qué a la conclusión de...

$\lambda_i^2=\lambda_i$ $\lambda_i=0$ o $1$.. que es lo que quiero..

Me ayudan a claro esta...

Answer 1

Creo que se debe considerar el hecho de que los correspondientes vectores propios de a $A$ $A^2$ son los mismos. Así que estos $\lambda$ $\lambda^2$ son tanto los valores propios de la misma vectores propios. Desde autovalores debe ser único, a continuación,$\lambda = \lambda^2$, lo que conduce a $\lambda = 0$ o $\lambda = 1$.

EDITAR:

Supongamos $\lambda$ es un autovalor real de $A$, con autovector $v$; a continuación, $Av=\lambda v$ y, fácilmente, también se $A^2v=\lambda^2v$. Por lo tanto $$ Un^tv=A^2v=\lambda^2v $$ y por lo $v^tA=\lambda^2v^t$. Por lo tanto $$ v^tAv=\lambda^2(v^tv) $$ pero, por otro lado, $$ v^tAv=v^t(\lambda v)=\lambda(v^tv) $$ Desde $v^tv\ne0$, obtenemos $\lambda^2=\lambda$.

Answer 2

Si $\lambda$ es un valor propio, por lo que es $\lambda^2$, y así es, por la misma razón, $\lambda^{4}$, $\lambda^{8}$... o cualquier $\lambda^{2^k}$.

Así, en el caso de $\lambda$ no $\{-1,0,1\}$, generaría una gama infinita, que no puede ser.

El caso sigue siendo $\lambda=-1$ que tiene que ser eliminado, ya que todos los autovalores de a $A$ son los autovalores de a $A^2$, y estas son las $\geq 0$.