He estado pensando en las series divergentes de vez en cuando, así que tal vez podría aportar algo.
Considere una secuencia de números (en un campo arbitrario, por ejemplo, números reales) $\{a_n\}$ . Se puede preguntar por la suma de términos de esta secuencia, es decir $\sum a_n$ . Si el límite $\lim_{N\rightarrow\infty} \sum^N |a_n|$ existe entonces la serie es absolutamente convergente y se puede hablar de la suma $\sum a_n$ . En caso de que el límite no exista pero $\lim_{N\rightarrow\infty} \sum^N a_n$ existe entonces la secuencia es condicionalmente convergente, y como (supongo) Carl Witthoft comentó anteriormente hay un teorema que establece que se puede sumar la secuencia en un orden diferente y obtener un resultado diferente para el límite. De hecho, reordenando juiciosamente se puede obtener cualquier número deseado. Incluí esto sólo para mencionar que aunque las series divergentes pueden parecer muy extrañas, en el sentido de sumar términos y que por cada término se acerca a un límite, sólo las series absolutamente convergentes hacen conexión con nuestra intuición. Así que podemos preguntarnos por el sentido de las series en general.
Como se explica en la página 6 de "Series Divergentes" de G. H. Hardy, el truco está en entender que nuestra noción habitual de suma de una serie es una forma de definir algo que llamamos "suma". En otras palabras, dada una secuencia tenemos un mapa que atribuye a esta secuencia un número. El "mapa de la suma" es la operación trivial de sumar los términos si la serie es absolutamente convergente. La idea detrás de las series divergentes es darse cuenta de que este mapa, aunque en cierto sentido es canónico, no es único.
Para ser más específicos, considere el espacio $V$ de todas las secuencias junto con las operaciones de suma y multiplicación escalar (dadas dos secuencias $\{a_n\}$ y $\{b_n\}$ y un número $\lambda$ definimos la adición mediante $\{a_n\}+\{b_n\}=\{a_n+b_n\}$ y la multiplicación escalar por $\lambda\cdot\{a_n\}=\{\lambda a_n\}$ ). Ahora el espacio de las secuencias con estas operaciones es un espacio vectorial (de dimensión infinita) (hay una buena pregunta sobre las coordenadas, ya que estoy asumiendo una base específica aquí, pero no nos preocupemos por esto ahora). Se puede ver que las series absolutamente convergentes forman un subespacio $U$ de $V$ y la "suma" $S$ es sólo un funcional lineal en este subespacio, $S:U\rightarrow\mathbb{R}$ . El problema es que esta función no está definida en ninguna otra parte.
Así que para dar sentido a las series divergentes uno se pregunta si hay otro mapa $S'$ definido en un subespacio $W$ que contiene $U\subset W$ tal que cuando se restringe a este subespacio es sólo la suma habitual, es decir, ¿hay $S'$ tal que $S'|_U=S$ ?
Y, de hecho, existen muchos funcionales de este tipo. Y a cada una de ellas la llamamos "método de suma" diferente en el sentido de que atribuye un valor a una secuencia y que cuando dicha secuencia corresponde a una serie convergente da los valores habituales.
Por ejemplo, Cesaro Summation dice que tal vez la serie no converge porque sigue oscilando (como la $1-1+1\cdots$ que has mencionado). Entonces podríamos tomar la media aritmética de las sumas parciales $s_n=a_1+\cdots a_n$ y definir la suma de Cesaro de la secuencia $\{a_n\}$ como $\lim_{N\rightarrow\infty}\frac{1}{N}\sum^N s_n$ . No es difícil ver que esto da el resultado habitual para las series convergentes (aunque un poco oscuro que es un mapa lineal), pero también da $1/2$ a las series alternas de $1-1+1\cdots$ . Así que hay que dar un nuevo significado a la palabra "suma", y entonces se pueden obtener nuevos resultados. Por ejemplo Teorema de Fejer afirma a grandes rasgos que (dadas condiciones suaves) la serie de Fourier de una función puede no ser estrictamente convergente, pero siempre es sumable en el sentido de Cesaro. Así que te dice que la peor divergencia que aparece en la serie de Fourier es de tipo oscilante, es decir, la serie nunca diverge a $\pm\infty$ . Además, mediante la suma de Cesaro se puede saber en torno a qué valor oscila la serie. Pero esto no "suma" la serie en el sentido de hacerla convergente en el sentido habitual.
Otras ideas para los funcionales es por continuación analítica. La más obvia es la serie geométrica $\sum x^n=\frac{1}{1-x}$ . Sólo es convergente en el $|x|\leq 1$ radio, pero se puede utilizar la continuación analítica para dar la vuelta al problema en $x=1$ y decir que $1+2+4+\cdots=\frac{1}{1-2}=-1$ . En este caso es más fácil imaginar la idea del álgebra lineal. El espacio $U$ es de todas las series geométricas con $|x|\leq 1$ y $S$ es la suma habitual. Ahora introducimos un funcional $S'$ por $S':W\rightarrow\mathbb{R},x\mapsto\frac{1}{1-x}$ para que $W$ son ahora todas las series geométricas excepto la que tiene $x=1$ . Un funcional que se reduce a este caso para las series geométricas pero que lo hace también para otras series de potencias es la Suma Abeliana.
Así pues, la idea no es "sumar" las series realmente (sólo las series absolutamente convergentes suman en el sentido habitual), sino redefinir la noción de suma generalizando el concepto y utilizando luego esta noción diferente para atribuir un valor finito a la serie a través de la secuencia correspondiente. Este valor finito debería decirle algo sobre la serie, como la suma de Cesaro le dice alrededor de qué valor oscila la serie o como la suma de Abel es capaz de reconstruir la función que generó la serie. Así que los métodos de suma son capaces de extraer información de las series divergentes, y así es como se les puede dar sentido.
Con respecto a la física, es importante destacar que las series perturbadoras en la teoría cuántica de campos son (generalmente) divergentes, pero ni la renormalización ni la regularización tienen que ver (fundamentalmente) con la "suma" de series divergentes (la regularización zeta es una técnica, no obligatoria, aunque útil). Más bien lo que ocurre es que a veces se obtiene una serie asintótica en la teoría de perturbaciones. En general hay diferentes funciones con la misma serie asintótica, pero con información complementaria puede ocurrir, o no, que uno pueda encontrar de forma única la función con esa serie asintótica específica. En este caso uno puede utilizar un método de suma conocido como Suma de Borel para reconstruir completamente la función completa. Cuando tal cosa ocurre en QFT se asocia normalmente con la presencia de algún tipo de instantón. Se puede echar un vistazo a S. Weinbergs "Quantum Field Theory Vol. 2", página 283. Así que la idea es obtener información no perturbadora de la serie de perturbaciones, y no para domar una especie de infinito. La renormalización es algo completamente diferente (y mucho peor ya que de hecho es altamente no lineal para empezar).
Para más información, intente encontrar una copia del libro de Hardy (es una joya), o para el balbuceo de álgebra lineal J. Boos, F. P. Cass "Classical and Modern Methods In Summability".
