Creo que hay una analogía acústica de ondas evanescentes, por lo tanto, un resorte y la masa de celosía modelo debe aproximado de ondas evanescentes de la misma manera que una diferencia finita de modelo del medio continuo ejemplo de abajo debe simular ondas evanescentes.
En homogénea medios escalar campos acústicos cumplir la ecuación de Helmholtz:
$$\left(\nabla^2 + \frac{\omega^2}{c_a^2}\right) \psi = 0$$
donde $\omega$ es la ondas de frecuencia angular, $c_a = \sqrt{\frac{K}{\rho}}$ la velocidad del sonido en el medio, $\rho$ la media de la densidad de la masa y $K$ sus bulk modulus.
Por lo tanto, si usted tiene una onda plana que viaja en un medio relativamente baja velocidad y es incidente en un ángulo de refilón en un avión de la interfaz, con una media de velocidad relativamente alta y si el ángulo de incidencia $\theta$ es mayor que el ángulo crítico $\theta_c$ donde:
$$\sin\theta_c = \frac{c_{a,1}}{c_{a,2}} = \sqrt{\frac{K_1\,\rho_2}{K_2\,\rho_1}}$$
donde $c_{a,1}$ es la velocidad del sonido en la primera (la más lenta) medio y $c_{a,2}$ que la de la segunda (la más rápida) medio, entonces no va a ser la reflexión interna total. Por lo tanto, habrá una onda evanescente de túneles en la segunda (la más rápida) medio, con un Goos-Hänchen cambio de fase. Escalar la teoría de la onda (es decir, ondas de cumplimiento de la ecuación de Helmholtz) es todo lo que se necesita para dar cuenta de este fenómeno en la óptica, por lo que hay una matemática precisa analogía entre este acústica ejemplo y mi respuesta aquí donde yo se derivan de la onda evanescente y el Goos-Hänchen cambio de fase.
Así que ahora, si usted tiene un discretised modelo de un sistema: es decir, dos "medios" de un resorte y la masa de celosías con un plano de la interfaz entre ellos, usted puede tener total interna de la reflexión y la continuidad de Helmholtz de la ecuación de cumplimiento de las olas mientras $\lambda = 2\pi c_a/\omega$ es mucho mayor que el espaciado reticular en ambos medios. Por lo tanto, usted debe obtener aproximadamente ondas evanescentes en la alta velocidad de medio lado.
Es probable que incluso posible para discretised exactamente exponencialmente descomposición de las ondas que se deriva matemáticamente en la red sin pensar en ellos como una aproximación a la continuidad ecuación de Helmholtz modos: el entramado apoyará discretised ondas sinusoidales. Usted podría probablemente se derivan de la teoría de la con $z$-Transformado discretised la propagación de ecuaciones en lugar de Laplace / Fourier transforma ecuaciones de Helmholtz.
He añadido la acústica etiqueta a tu pregunta porque definitivamente hay un elemento acústico a esta pregunta. Con un poco de suerte acústica experto puede confirmar lo anterior, y de describir la mecánica de ondas evanescentes más directamente.
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Gran, de la reflexión interna total es lo que yo estaba ahora va a tratar. De hecho el sistema que estoy buscando no tienen que ser discretos - yo sería feliz con un modelo continuo. He probado en discretos porque yo podría hacer brecha de banda allí. Lo que me molesta en la reflexión interna total es que parece ser fundamentalmente multidimensional. ¿Tiene usted alguna idea sobre cómo obtener este efecto en 1 dimensión?
Este es un muy buen punto. Estoy de acuerdo con usted en que necesita dos o más dimensiones para la reflexión interna total y esta es una limitación fundamental porque la TIR es desviar el fenómeno - el resultado de un componente de la wavevector proyectada sobre una interfaz que el wavevector componente $k_x^\prime$ es mayor que el wavevector magnitud $k^\prime$ en el nuevo medio para que el nuevo componente axial $k_z^\prime$, que cumple con la transformada de Fourier de la ecuación de Helmholtz ${k_z^\prime}^2 + {k_x^\prime}^2 = k^2$, de modo que ${k_z^\prime}^2 < 0$.
Si usted está interesado en una dimensión, entonces creo que realmente no hay realmente una dimensión evanescente de ondas planas.
Para el fondo general, puede que desee echar un vistazo al siguiente documento:
SW Rienstra & A. Hirschberg (Universidad de Tecnología de Eindhoven), "Una Introducción a la Acústica", 14 de diciembre de 2013
Que lidiar con ondas evanescentes en el §3.3 y uno de los sistemas de dimensiones en el artículo 4. Una pieza interesante de la trivia es que el acoplamiento acústico entre el altavoz y el oído del oyente en un Walkman de Sony (los autores son, quizás, dejando deslizar su edad aquí, probablemente este comentario incluye cosas como modernos auriculares para ipod y similares) es a través de cerca de campo de onda evanescente de la transmisión. Por supuesto, esto tiene la ventaja de no molestar a los otros cerca de la gente, porque la radiación de la componente de campo acústico es mínimo. Ondas evanescentes venir de nuevo en el §7.2, donde se ven en corte de los modos en los conductos. Sin embargo, todos estos ejemplos son de dos dimensiones: un tubo circular soportes cilíndricos modos de Bessel cuya presión varía como $J_n(U_{n,m} r/r_0) \cos(n\,\phi+\delta)\,e{i\,k_z\,z}$ donde $r$ es el radial coordinar, $\phi$ el azimutal coordinar, $z$ axial coordinar, $r_0$ el conducto de radio y $U_{n,m}$ $m^{th}$ cero de la primera derivada de la $n^{th}$ fin de la primera clase función de Bessel $J_n$. La componente transversal de la wavevector tiene magnitud $U_{n,m}/r_0$ y la sustitución de la solución a la ecuación de Helmholtz se obtiene:
$$k_z^2 + \frac{U_{n,m}^2}{r_0^2} = k^2$$
lo que conduce a "cut-off" modos (es decir, evanescente con los imaginarios axial número de onda) al $U_{n,m} > k\,r_0$.
En una dimensión, algo que podría ser interpretado como una onda evanescente es la transición del campo acústico en un sintonizado acústico de rejilla. En el §4.4.1 de la Rienstra &Hirschberg referencia anteriormente, que se derivan de la transmisión de $T$ y la reflexión $R$ coeficientes a través de un plano de la interfaz y son precisamente análoga a estos electromagnética caso para la transversal de las ondas electromagnéticas en dos conductores, de forma invariante de transmisión de las líneas, a saber:
$$R = \frac{Z_1-Z_2}{Z_1+Z_2};\quad T = \frac{2\,Z_2}{Z_1+Z_2}$$
donde $Z_1, Z_2$ son las impedancias acústicas de los dos medios en cuestión. Por lo tanto, si montamos una pila de alterna, uniforme medios de comunicación, se puede construir sin pérdidas acústicas de los reflectores, y la onda que penetra en el reflector disminuye exponencialmente con la profundidad como de la rejilla sin pérdida convierte el avance de la ejecución en el campo reflejado. Si:
$$\psi_j=\left(\begin{array}{c}a_j\\b_j\end{array}\right)$$
representa el campo en el $j^{th}$ interfaz en la pila, entonces la matriz de transferencia a través de la interfaz de medio 1 al medio 2 es:
$$K_j=\frac{1}{1+R}\left(\begin{array}{cc}-R&1\\1&-R\end{array}\right)$$
de modo que la matriz de transferencia a través de una capa de espesor $t_1$ de media 1 seguido por una capa de espesor $t_2$ de media 2 es:
$$P=\frac{1}{1-R^2}\left(\begin{array}{cc}e^{i\,k_1\,t_1}&0\\0&e^{-i\,k_1\,t_1}\end{array}\right)\left(\begin{array}{cc}-R&1\\1&-R\end{array}\right)\left(\begin{array}{cc}e^{i\,k_2\,t_2}&0\\0&e^{-i\,k_2\,t_2}\end{array}\right)\left(\begin{array}{cc}R&1\\1&R\end{array}\right)$$
que tiene los autovalores:
$$\lambda = a\pm\sqrt{a^2-b^2}$$
donde:
$$a = \cos (k_1 t_1-k_2 t_2)-R^2\,\cos (k_1 t_1+k_2 t_2));\qquad b = 1-R^2$$
Mediante la comprobación de puntos estacionarios de esta expresión podemos mostrar que los autovalores ambos se encuentran en el interior de la unidad cerrada círculo y que hay opciones para $k_1\,t_1\,k_2 \,t_2$ cualquier $R$, de forma que ambos autovalores mentira estrictamente dentro del círculo unidad. Por lo tanto, debido a $\psi_{2\,j} = P^j \psi_0$, vemos que esto significa $|\psi_j|^2$ disminuye exponencialmente con la reja del ciclo de número de $j$ y es del orden de $|\lambda_{max}|^{2\,j} |\psi_0|^2$ donde $\lambda_{max}$ es la magnitud máxima autovalor, que podemos elegir exactamente unidad de magnitud, o estrictamente menor que la unidad de magnitud. Así que la reja de manera constante se convierte reenvía correr olas hacia atrás correr olas como la onda penetra más profundamente en el reflector. Este, creo, es una muy buena analógicas para la penetración y la progresiva conversión de la onda de dirección que sucede más allá de un totalmente internamente reflejando la interfaz óptica.
Incluso podemos chirrido de la reja para obtener esencialmente, cualquier respuesta en frecuencia de la reflexión que nos gusta. Esto es lo que se hace en una dimensión rejas en una moded de fibra óptica de guías de onda. Leon Paladian en la Universidad de Sydney se acercó con un método general para el diseño de la estructura de bandas del cristal fotónico (rejilla) para lograr un determinado respuesta de frecuencia en el Mediados de la década de 1990. Revise su página personal (y aquí) para las publicaciones en este campo. Que debo declarar una amistad con León, pero no estuvo involucrado en este trabajo en particular.
