$\operatorname{Gal}(\overline{K}/K)=\mathbb{Z}$ posible?

Question

Es posible tener $\operatorname{Gal}(\overline{K}/K)=\mathbb{Z}$?

Mi pregunta viene desde el enlace entre cubierta y campo de extensiones. Para cubrir el ejemplo más sencillo es $\operatorname{Gal}(\mathbb{R}/\mathbb{S}^1)=\mathbb{Z}$.

Tal vez algo parecido a $\mathscr{M}(\mathbb{C})/\mathscr{M}(\mathbb{C}^*)$ donde $\mathscr{M}(X)$ es el campo de meromorphics funciones en una superficie de Riemann?

Answer 1

No: cada grupo de Galois es profinite, y cualquier infinita profinite grupo tiene cardinalidad, al menos,$2^{\aleph_0}$.

Answer 2

Usted puede obtener bastante cerca: hay campos cuya absoluta Galois grupos son los profinite enteros $\widehat{\mathbb{Z}}$. En particular cada campo finito tiene esta propiedad. El finito extensiones finitas de los campos se ven exactamente como los finita cubre de $S^1$ (pero el infinito extensiones son más complicados).