La existencia de una Estrictamente Creciente, Continua la Función cuya Derivada es 0.e. en $\mathbb{R}$

Question

Esta prueba está casi hecho, excepto por el paso de mostrar que la función derivada es $0$.e.

Deje $I = \{[p_n, q_n]\}$ denota el conjunto de todos los intervalos cerrados en $\mathbb{R}$ con racional de los extremos de $p_i, q_i \in \mathbb{Q}$.

Deje $\phi_n$ denotar una variante de la Ternario de Cantor de la Función (es decir, el Diablo de la Escalera de la Función) se extiende a todos los $\mathbb{R}$ que satisface $\phi_n(x) = 0$ para todos los $x < p_i$, $\phi_n(x) = 1/2^n$ para todos los $x > q_i$ y es no decreciente, continua, y de cero derivado de una.e. en $[p_i,q_i]$, de modo que $\phi_n$ satisface

1. $\phi_n'(x) = 0$ .e. en $\mathbb{R}$
2. $\phi_n$ no decreciente, continua en $\mathbb{R}$
3. $\phi_n$ está acotada arriba por $1/2^n$
4. $\phi_n (p_n) < \phi_n (q_n)$ (trivial, pero importante más adelante)

Ahora vamos a $\sum \phi_n = \phi$.

$\fbox{Claim}$

1. $\sum \phi_n \rightarrow \phi$ uniformemente
2. $\phi$ es estrictamente creciente y continua en $\mathbb{R}$, pero también satisface $\phi'(x) = 0$.e. en $\mathbb{R}$.

$\fbox{Attempted Proof}$

1. Primero desde $\forall n \in \mathbb{N}$,$|\phi_n| \le 1/2^n$$\sum 1/2^n < \infty$, se deduce que el $\sum \phi_n \rightarrow \phi$ uniforme (un hecho Real, Análisis).

2. Considere la posibilidad de que el finito suma de $k$ funciones continuas es en sí misma una función continua. Puesto que todas las $\phi_n$ son funciones continuas, por lo tanto, tenemos que $f_k = \sum_{n=1}^k \phi_n$ es también una función continua. Por otra parte, dado que (1) implica que $f_k \rightarrow \phi$ unformly, ahora tenemos que $\phi$ es también continua (a través de otro Análisis Real hecho de que un uniformemente convergente de la secuencia de funciones continuas converge a otra función continua).

3. Para mostrar $\phi$ es estrictamente creciente, considere la posibilidad de $x,y \in \mathbb{R}$ s.t. $x < y$. Desde $\exists k \in \mathbb{N}$ s.t. $x < p_k < q_k < y$ , $\phi_k(x) \le \phi_k(p_k) < \phi_k(q_k) \le \phi_k(y)$ implica que el$\phi_k(x) < \phi_k(y)$, de modo que para $N \ge k$ tenemos $\sum_{n = 1}^N \phi_n(x) < \sum_{n = 1}^N \phi_n(y)$ y, más generalmente,$\phi(x) < \phi(y)$. Esto demuestra que, efectivamente, $\phi$ es estrictamente creciente en a $\mathbb{R}$.

4. Para mostrar que $\phi'(x) = 0$.e. en $\mathbb{R}$, vamos a mostrar que el $\phi' = \sum \phi_n' = \sum 0_n$, donde cada una de las $0_n$ es la derivada de la función de $\phi_n$ $0$ en casi todas partes.

Pero no estoy seguro de cómo completar (4)?

Answer 1

A partir de tu respuesta veo que está bien para uso estándar de los datos de los análisis real, así que vamos a utilizar!

El teorema de Fubini en la diferenciación. Suponga $(f_n)_{n\in\mathbb{N}}$ es una secuencia no decreciente funciones en $[a,b]$, y la serie de $\sum_{n=1}^\infty f_n(x)$ converge para todos los $x\in [a,b]$, luego $$ \left(\sum_{n=1}^\infty f_n(x)\right)'=\sum_{n=1}^\infty f_n'(x) $$ una.e. en $[a,b]$.

Ahora le damos la vuelta al problema original. Considerar arbitraria interbal $[a,b]$. Por supuesto,$\phi_n'=0$.e. en $\mathbb{R}$ y, a fortiori, en $[a,b]$. Por el teorema de Fubini en la diferenciación que conseguir $$ \phi'(x)=\left(\sum_{n=1}^\infty \phi_n(x)\right)'=\sum_{n=1}^\infty \phi_n'(x)=\sum_{n=1}^\infty 0=0 $$ una.e. en $[a,b]$. Desde $[a,b]$ es un intervalo arbitrario, a continuación,$\phi'=0$.e. en $\mathbb{R}$.