¿Cómo se obtiene el calibre de Lorenz a partir de la ecuación de continuidad?

Question

Estaba leyendo mi viejo libro de electromagnetismo ( Elementos de Electromagnetismo, de Sadiku, 3ª edición) y después de que el autor explicara lo que el Gálibo de Lorenz es matemáticamente y por qué es útil para desacoplar el potencial eléctrico escalar del potencial magnético vectorial para producir las ecuaciones de onda, el autor hizo un comentario al margen debajo de la ec. (9.52) que la galga de Lorenz $$\nabla \cdot \vec A = -\mu\varepsilon \dfrac{\partial V}{\partial t}$$ puede derivarse del ecuación de continuidad .

No tengo conocimientos de relatividad. Soy estudiante de ingeniería eléctrica. Así que, dadas estas limitaciones, ¿cómo podría deducir el indicador de Lorenz a partir de la ecuación de continuidad?

Nota: Me atengo a las convenciones de mi libro al escribir las ecuaciones.

Answer 1

Para simplificar, vamos a utilizar el especial relativista formulación de E&M. Esperemos que OP todavía puede entender lo suficiente como para extraer una respuesta a su pregunta.

Asumir la firma (-,+,+,+) y suponer por simplicidad unidades donde $c=\varepsilon_0=\mu_0=1$ . En ecuación de continuidad

$$\tag{1} \partial_{\mu} j^{\mu}~=~0$$

es consecuencia de Ecuaciones de Maxwell

$$ \tag{2} \partial_{\mu} F^{\mu\nu}~=~j^{\nu}$$

con fuentes $j^{\mu}=(\rho,\vec{J})$ . La existencia de un $4$ -potencial de calibre $A^{\mu}=(V,\vec{A})$ hace que las ecuaciones de Maxwell sin fuente sean triviales.

En Condición de fijación del gálibo de Lorenz

$$\tag{3} \partial_{\mu} A^{\mu}~=~0$$

(o cualquier otra condición de fijación de gálibo: Coulomb, axial, temporal, etc, para el caso) puede no derivarse de las ecuaciones de Maxwell o de sus consecuencias. El objetivo de una condición de fijación gauge es fijar (al menos parcialmente) la ambigüedad gauge

$$\tag{4} A_{\mu}~\longrightarrow ~ A_{\mu}+\partial_{\mu}\Lambda.$$

La Ref. 1 afirma bajo la ec. (9.52) que la condición de fijación del gauge de Lorenz (9.50) se deduce de la ec. de continuidad (1):

[...] Se puede demostrar que el Lorentz $^1$ puede obtenerse a partir de la ecuación de continuidad; por lo tanto, nuestra elección de la ec. (9.50) no es arbitraria. [...]

La Ref. 1 utiliza el retrasados $4$ -potencial

$$\tag{5} A^{\mu}(\vec{x},t)~=~\iiint_V \frac{d^3y}{4\pi} \frac{j^{\mu}(\vec{y},t-R)}{R}, \qquad R~:=~|\vec{x}-\vec{y}|, $$

para el potencial gauge $A^{\mu}$ ver Ref. 1 Ecs. (9.53-55). De hecho, la condición de fijación del gauge de Lorenz (3) se deduce a partir de la fórmula retardada (5) y la ecuación de continuidad (1) mediante integración por partes. De hecho, las ecuaciones de Maxwell [en el gauge de Lorenz y con fuentes, también conocidas como ecuaciones de onda con fuentes, véase la Ref. 1, ecs. (9.51-52)].

$$\tag{6} \Box A^{\mu}~=~j^{\mu} , \qquad \Box ~:=~\partial_{\mu}\partial^{\mu}~=~ \partial^2_t - \Delta, \qquad \Delta ~:=~\vec{\nabla} \cdot\vec{\nabla},$$

se deduce de la fórmula retardada (5).

Qué Ref. 1 no dice es que la fórmula retardada (5) es en sí misma una elección de fijación de galgas, aunque hay que admitir que es una elección muy natural.

Referencias:

1. M.N.O. Sadiku, Elementos de Electromagnetismo, 2009.

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$^1$ La Ref. 1 escribe erróneamente Lorenz con un "t", Véase el Página de Wikipedia .