¿Por qué el teorema de Green es asimétrico en $x$ y $y$ ?

Question

El teorema de Green es

$$\oint_{\partial D} (P\, dx+Q\, dy) = \iint_D dx\,dy \: \left ( \frac{\partial Q}{\partial x} - \frac{\partial P}{\partial y}\right)$$

donde se puede ver que la RHS es asimétrica en $x$ y $y$ . ¿A qué se debe esto y cuál es el significado físico?

Sospecho que la respuesta tiene que ver con el uso de un sistema de coordenadas diestro (por ejemplo, se puede utilizar el teorema de Stokes para demostrar lo anterior, que implica un producto vectorial, que es diestro), o posiblemente que el límite se recorre en sentido contrario a las agujas del reloj, pero soy incapaz de hacer una afirmación más profunda o precisa que esa...

Answer 1

Tanto el a la izquierda lado y el a la derecha lado son asimétricos en $x$ y $y$ : El límite $\partial D$ da la vuelta $D$ en una dirección determinada y no en la otra.

Answer 2

La falta de simetría es sólo aparente. La fórmula de Green es un caso especial de lo que se conoce como el Teorema de Stokes (general), que deberías buscar en Wikipedia para empezar: pero piénsalo así, si intercambias el coordenadas $x$ con $y$ también hay que intercambiar los campos vectoriales componentes $P$ con $Q$ para ser coherente.

Answer 3

Está relacionado con la orientación del espacio. Denota $\omega$ la forma diferencial $\,P\mathrm d\mkern1.5mu x+Q\mathrm d\mkern1.5mu y$ la fórmula de Green-Riemann se puede escribir: $$\int_{\partial D} \omega= \int_D \mathrm d\mkern1.5mu\omega $$ donde $\,\mathrm d\mkern1.5mu\omega$ es el diferencial exterior de $\omega$ , definida por: \begin{align*}\mathrm d\mkern1.5mu (P\,\mathrm d\mkern1.5mu x+Q\,\mathrm d\mkern1.5mu y)&= \mathrm d\mkern1.5mu P\wedge \mathrm d\mkern1.5mu x+\mathrm d\mkern1.5mu Q\wedge\mathrm d\mkern1.5mu y\\ &=\Bigl(\frac{\partial P}{\partial x}\mathrm d\mkern1.5mu x+ \frac{\partial P}{\partial y}\mathrm d\mkern1.5mu y\Bigr)\wedge\mathrm d\mkern1.5mu x +\Bigl(\frac{\partial Q}{\partial x}\mathrm d\mkern1.5mu x+ \frac{\partial Q}{\partial y}\mathrm d\mkern1.5mu y\Bigr)\wedge\mathrm d\mkern1.5mu y \\ & = \frac{\partial P}{\partial y}\mathrm d\mkern1.5mu y\wedge\mathrm d\mkern1.5mu x+ \frac{\partial Q}{\partial x}\mathrm d\mkern1.5mu x\wedge\mathrm d\mkern1.5mu y = \Bigl(\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y}\Bigr)\mathrm d\mkern1.5mu x\wedge\mathrm d\mkern1.5mu y \end{align*}

desde $\,\mathrm d\mkern1.5mu x\wedge\mathrm d\mkern1.5mu x=\mathrm d\mkern1.5mu y\wedge\mathrm d\mkern1.5mu y=0\,$ y $\,\mathrm d\mkern1.5mu y\wedge\mathrm d\mkern1.5mu x=-\mathrm d\mkern1.5mu x\wedge\mathrm d\mkern1.5mu y$ .