Producto de una menos la décima raíz de la unidad

Question

Si $1$ , $ \alpha_1 $ , $ \alpha_2 $ , $ \alpha_3 $ , $ \ldots \alpha_9 $ son los $10$ las raíces de la unidad, entonces, ¿cuál es el valor de $$ (1 - \alpha_1 )(1 - \alpha_2 )(1 - \alpha_3 ) \cdots (1 - \alpha_9 )? $$

No estoy siendo capaz de resolver esto. ¡Por favor, ayúdame!

Answer 1

Deje que $$f(x)=x^{10}-1=(x-1)(x- \alpha_1 ) \cdots (x- \alpha_9 ).$$ Luego $$ f'(x)=10x^9= \sum_ {i=0}^9 \prod_ {0 \le j \le9 , j \neq i}(x- \alpha_j ) $$ (donde denuncio $ \alpha_0 =1$ ).

¿Puedes calcular $f'(1)$ ? ¿Ves por qué responde a tu pregunta?

Answer 2

Pista: Deje que $ \mu_n $ ser el conjunto de $ n $ las raíces de la unidad. Entonces, tenemos

$$ \prod_ { \zeta \in \mu_n } (x - \zeta ) = x^n - 1 = (x-1)(x^{n-1} + x^{n-2} + \ldots + x + 1) $$

y por lo tanto

$$ \prod_ { \zeta \in \mu_n - \{1\}} (x - \zeta ) = x^{n-1} + x^{n-2} + \ldots + x + 1 $$

Answer 3

Dejemos que las raíces de $x^n-1=0$ ser $$1, \alpha_1 , \alpha_2 , \cdots , \alpha_ {n-1}$$

Si $1-x=y \iff x=1-y$

Entonces, la ecuación cuyas raíces son $$1-1,1- \alpha_1 ,1- \alpha_2 , \cdots ,1- \alpha_ {n-1}$$ será $$(1-y)^n-1=0 \iff (-1)^ny^n+(-1)^{n-1} \binom n1y^{n-1} \cdots - \binom n1y=0$$

Así que, las raíces de $$y^{n-1}- \binom n1y^{n-1} \cdots +(-1)^{n-1} \binom n1=0$$ será $$1- \alpha_1 ,1- \alpha_2 , \cdots ,1- \alpha_ {n-1}$$

¿Puedes usar la fórmula de Vieta ahora?

Answer 4

Pista: ¿Cuál es el producto de las raíces del polinomio $(1-x)^{10} - 1$ que no sea $0$ ?

Answer 5

Aquí hay otro enfoque. Tienes este resultado:

Las raíces de cualquier polinomio con coeficientes reales son reales o vienen en pares conjugados complejos.

Tenemos una raíz real, -1, la contribución de -1 sería multiplicada por $(1-(-1))=2$ .

Entonces consideremos el producto de cualquier par conjugado complejo $$(1-z)(1-z^*) = (1+R(z)^2+I(z)^2-2R(z))=2(1-R(z))$$ Donde en el último paso usamos el $R(z)^2+I(z)^2 = 1$ lo cual es cierto en el círculo de la unidad.

Ahora considera la distribución de estos $R(z)$ en nuestro círculo. Tal vez haya alguna forma de arreglarlos para hacer el producto de la pareja más simple. Teníamos 8 raíces, eso significa 4 pares complejos conjugados.

Pero también podemos emparejar estos pares para tener dos pares de pares de signos reales opuestos. Las partes reales son valores de coseno. Así que los productos por pares se convierten $1- \cos ^2$ que debería hacer sonar una campana de trigono y entonces estamos bastante cerca de una solución!