sobre un subconjunto del cubo multidimensional

Question

Dejemos que $[0,1]^{n+2}$ sea el ( $n+2)$ -cubo unitario. Consideremos el conjunto $A\subset[0,1]^{n+2}$ formado por todos los puntos $(x_{1},...,x_{n+2})$ tal que $x_{i}=0$ , $x_{j}=1$ para algunos $i,j\in\{1,...,n+2\}$ . Mi pregunta: ¿es cierto que el conjunto $A$ es homeomorfo al $n$ -Esfera de dimensiones $\mathbb{S}^{n}$ ¿y cómo demostrarlo (si es cierto)? Si la respuesta es negativa entonces cuál es el tipo de homotopía de $A$ ?

Tenga en cuenta que $A$ es la unión de $(n+1)(n+2)$ $n$ -de las caras dimensionales de $[0,1]^{n+2}$ y es simétrico con respecto al centro del cubo. Para ejemplo, en el caso $n=1$ , $A$ es la unión de 6 aristas de $[0,1]^{3}$ formando un círculo (topológico) círculo $\mathbb{S}^{1}$ .

Answer 1

El conjunto $A$ es siempre homeomorfo a $S^n$ . En concreto, dejemos que $P\;$ sea el plano $x_1 + \cdots + x_{n-2} = 0$ en $\mathbb{R}^{n+2}$ y que $\pi\colon \mathbb{R}^{n+2} \to P\;$ sea una proyección ortogonal. Afirmo que

1. $\pi$ es inyectiva en $A$ y $\pi(A)$ es homeomorfo a $A$ .

2. $\pi(A)$ es el límite de $\pi\bigl([0,1]^{n+2}\bigr)$ en $P$ .

Para la primera afirmación, observe que no hay dos puntos de $A$ difieren en un múltiplo de $(1,1,\ldots,1)$ y por lo tanto $\pi$ es inyectiva en $A$ . Desde $A$ es compacto, se deduce que $\pi(A)$ es homeomorfo a $A$ .

Para la segunda afirmación, consideremos el subconjunto de $P\;$ definido por las desigualdades $$x_i - x_j \;\leq\; 1$$ para todos $i,j\in \{1,\ldots,n+2\}$ . Un simple argumento con coordenadas muestra que este conjunto es precisamente $\pi\bigl([0,1]^{n+2}\bigr)$ y el límite de este conjunto es precisamente $\pi(A)$ .

Por cierto, el politopo $\pi\bigl([0,1]^{n+2}\bigr)$ que aparece en este problema es un simple ejemplo de un zonotopo . Es un hexágono regular cuando $n=1$ y un dodecaedro rómbico cuando $n=2$ . En general, es un $(n+1)$ -politopo con $(n+2)(n+1)$ caras del paralelótopo.