Rápida de fondo: estoy de cuarto año de pregrado de entrar a la escuela de posgrado del próximo año. Estoy tratando de identificar las áreas de investigación matemática en la que se tiende a poner más énfasis en el desarrollo de la nueva teoría en oposición a la solución de problemas que puede ser formulada en términos de teoría.
Permítanme darles dos ejemplos:
(Ejemplo 1) Suponga que un analista desea estudiar un determinado PDE. En la mayoría de los casos, el PDE (que probablemente surgió de phsyics o geometría) ha sido conocido por mucho tiempo. Por otra parte, la función de los espacios ($L^2, H^2,$ ect) que se utilizan habitualmente en la formulación de la PDE problemas, también se han definido para la mayor parte de un siglo. Ahora, hay una gigantesca cantidad de espacio para la innovación en la moderna teoría de la PDE para el desarrollo de nuevas técnicas. Sin embargo, las preguntas básicas (bien posedness, único continuación, ect) habría sido inteligible hace sesenta años.
(Ejemplo 2) Una enorme área de investigación en la moderna topología es el estudio de la lisa de 4 colectores. El santo grial es el liso 4-d de la conjetura de Poincaré. Aquí, de nuevo, hay increíblemente sofisticado y hermoso herramientas que se han desarrollado para responder a las preguntas acerca de 4-variedades. Pero la pregunta en sí, son bastante antiguas. Fundamentalmente, estamos tratando de entender los objetos (es decir, suave colectores) cuya definición ha cambiado para la mayor parte de un siglo.
Mis preguntas son:
A1 (Principal pregunta): ¿hay algunas áreas de las matemáticas cuyo preguntas guía no sería inteligible en términos de la teoría, que se sabía de hace 20 años?
A2 (Más subjetiva la pregunta): ¿cuáles son algunas de las áreas donde la nueva teoría que se está desarrollando como hablamos, o donde parece ser que hay una gran necesidad de una nueva teoría?
Nota: Todos los matemáticos (al menos todos los que he hablado) de acuerdo en que una buena teoría surge a partir de los buenos problemas. Sin embargo, me da la sensación de que algunas áreas de dejar más espacio para la teoría de los demás, de ahí mi pregunta!
