Evitar el límite de la notación durante largo manipulaciones algebraicas

Question

Por ejemplo, mira esto:

$$ \begin{align} \lim_{x \rightarrow \infty}\frac{x}{x+1} &= \lim_{x \rightarrow \infty}{\frac{\frac{x}{x}}{\frac{x}{x}+\frac{1}{x}}}\\ &= \lim_{x \rightarrow \infty}{\frac{1}{1+0}} \\ &= \lim_{x \rightarrow \infty}{\frac{1}{1}} \\ &= \lim_{x \rightarrow \infty}{1} \\ &= 1 \\ \end{align} $$

Tal vez este no es el mejor ejemplo de como la mayoría de los pasos son innecesarios, pero a veces puedes terminar con algo como eso, tener que escribir $\lim_{x \rightarrow \infty}$ una y otra vez. Es allí cualquier anotación o método se puede utilizar para evitar tener que hacer esto?

Answer 1

Habiendo comentado, editado y casi comentó de nuevo, me doy cuenta de que es mejor si voy a escribir todo de una manera organizada.

1. Manipular la expresión utilizando sólo "adecuado" a las igualdades (equailities que no implican límites) y sólo entonces tomar el límite. Por ejemplo: $$ \frac{x+1}{x} = 1 + \frac{1}{x} \xrightarrow[x\rightarrow\infty]{} 1$$
2. Si nosotros fuéramos a buscar a su ejemplo, nos podría esencialmente reescribir de manera similar a lo que hicimos en el punto 1, sin escribir $\text{lim}$ muchas veces: $$\frac{x}{x+1}=\frac{\frac{x}{x}}{\frac{x}{x}+\frac{1}{x}}\xrightarrow[x\rightarrow\infty]{}\frac{1}{1+0}={\frac{1}{1}}=1$$
3. Escribir $\text{lim}$ sin el subíndice '$x→∞$' (pero usted tiene que recordar que $x$ tiende a $∞$).
4. Una vez que llegue algo de la forma$\lim_{x\rightarrow \infty}\frac{1}{1+0}$, es ampliamente aceptado que sólo tienes que escribir equivale a $1$ (Sin más explicando).
5. A veces es de gran conveniencia para el uso de notación O. Uso de que poco-O sería así: $$\frac{x+1}{x} = 1+ o(1)\quad(x\rightarrow\infty) $$ Y el big-O: $$ \frac{x+1}{x} =1+\mathcal{O}\left(\frac{1}{x}\right)\quad(x\rightarrow\infty) $$ Después de haber traído la expresión a una forma final (que se asemeja a las 2 últimas igualdades) uno reconoce inmediatamente el límite. Esta notación, por lo general, esconde algunos de limitación de procedimiento.

Por supuesto, las directrices anteriores sólo sugieren una forma de tener un lugar más limpio, más compactos de papel, y no de cualquier matemático importancia. La regla básica es; el propósito de notaciones matemáticas es transmitir ideas u objetos. [Yo diría] Como una regla de oro: Notaciones son buenas si son intuitivos (y intuitevely comprensible), limpia y sencilla.

Answer 2

Me gustaría escribir como este:

$$ \frac{x}{x+1} = {\frac{\frac{x}{x}}{\frac{x}{x}+\frac{1}{x}}} \hspace{1em} \xrightarrow[x\to \infty]{} \hspace{1em} 1 $$

Answer 3

Usted podría utilizar el lenguaje:

Tomamos nota de que $\frac{x}{x+1}=\frac{\frac{x}{x}}{\frac{x}{x}+\frac{1}{x}} \to 1$$x \to \infty$, ya que el $\frac{1}{x}$ se desvanece en el denominador.

Answer 4

Aparte de la flecha larga notación, mencionado por otros: $$ f \xrightarrow[x\to\infty]{} g$$ Yo recomendaría, en este problema específico, el uso de una nueva variable. Tenga en cuenta que para $$u = x+1$$ tenemos $$\frac x{x+1} = \frac {u-1}u = 1-\frac 1u$$ por lo tanto $$ \lim_{x\to\infty} \frac x{x+1} = \lim_{u\to\infty} \left(1-\frac 1u\right) = 1-0 = 1$$