¿Cómo puedo ver que $\mathbb{CP}^2$ no es el límite de un compacto liso $5$-colector?

Question

¿Cómo puedo ver que $\mathbb{CP}^2$ no es el límite de un compacto liso $5$-colector?

No hay una respuesta aquí por una cuestión de carácter más general, pero me preguntaba si había una manera más elemental forma de ver es que sólo se utilizan las técnicas desarrolladas en el Hatcher Topología Algebraica.

Answer 1

Hacia contradicción, se supone que es el límite de un compacto de 5-colector $V$. A continuación, la contigüidad espacio de $D(V)=V\cup_{\mathbb{C}P^2} V$ es un cerrado de 5 dimensiones del colector, por lo que su característica de Euler se desvanece por la Dualidad de Poincaré. Por lo tanto, por la aditividad de la característica de Euler, tenemos

$$0=\chi(D(V))=2\chi(V)-\chi(\mathbb{C}P^2)=2\chi(V)-3.$$

Esto le da a la deseada contradicción.

Answer 2

El grado medio cohomology $H^2(\Bbb C\rm P^2;\Bbb Z)$ es unidimensional, de ahí su firma---la firma de la intersección formulario $H^2(X;\Bbb Z)\times H^2(X;\Bbb Z)\to \Bbb Z$, $(\alpha,\beta)\mapsto (\alpha\smile\beta)(\mu)$ donde $\mu$ es la clase fundamental---no puede desaparecer. Pero la firma de los límites de un (compacto, orientado a) 5-colector debe desaparecer (esto es cobordism la invariancia de la firma).

Una limitación es que este argumento se utiliza una orientada a 5-colector. Sin embargo, desde la firma de $\Bbb C\rm P^2$ debe $1\mod 2$, podemos trabajar con $\Bbb Z_2$-y los coeficientes de caída de la orientability asunción. Gracias a Balarka Sen y iwriteonbananas para señalar esto.