En el Cramér-Granville Conjetura y la búsqueda de primer pares cuya diferencia es el 666

Question

Si $p= \text{NextPrime}[q]$ (la más pequeña prime mayor que $p$), y $p-q = 666,$ lo se $p$$q$?

(Puede haber varias opciones. Estoy interesado en encontrar uno.)

Cramér-Granville Conjetura:
"La definición de p_0=2, p_n como la enésima impar primo, y el enésimo primer espacio como
g_n=p_(n+1)-p_n, entonces g_n< M *log(p_n)^2 para algún M>1."

Enlace de referencia: http://mathworld.wolfram.com/Cramer-GranvilleConjecture.html

Si g_n =666, lo que por lo general son buenas estimaciones de M y p_n de acuerdo a la Cramér-Granville Conjetura? Si g_n = 666 y p_n = 18691113008663, entonces la conjetura está satisfecho por cualquier M>1.

Dejamos el primer gap_avg = x/π(x) = g_n = 666. Si π(x) = x/(li(x) + sqrt(x) * log(x)/(8π)), entonces tenemos x/π(x) = 666, el cual implica x = 4.73231×10^289 y π(x) =7.10558×10^286. Así que nuestro límite superior de la estimación de p_n será menor que 4.73231×10^289.

Por lo tanto, nos vamos a centrar nuestra atención en la búsqueda consecutiva el primer pares cuya diferencia es el 666 en el intervalo abierto, (18691113009329, 4.73231×10^289). Y debemos esperar encontrar unos c *(π(4.73231×10^289)-π(18691113009329))/333 = c *7.10558×10^286/333
= c * 2.133808*10^284 consecutivos primer pares cuya diferencia es el 666, donde 0.5 < c < 1.

Por otra parte, también hemos de esperar para descubrir lo suficientemente numerosos primer hueco mayor que el 666 en el intervalo abierto por lo que el primer hueco de la densidad o el promedio de 666 se mantiene. Y de acuerdo con la conjetura, el máximo, el primer espacio de registro(4.73231×10^289)^2 = 444892, más o menos, existe en el intervalo abierto.

Podemos hacer uso de la actual tecnología de tamiz y modelos probabilísticos para resolver nuestro problema de manera eficiente?

Enlaces de referencia: http://www.ams.org/journals/mcom/1989-52-185/S0025-5718-1989-0947470-1/S0025-5718-1989-0947470-1.pdf/;

https://terrytao.files.wordpress.com/2009/08/prime-number-theory1.pdf.

Boeyens, Jan C. A.; Levendis, Demetrio C. (2008), Teoría de números y la Periodicidad de la Materia, de Berlín: Springer-Verlag, ISBN 978-1-4020-6659-7.

"La repetición y el crecimiento del primer lagunas son esenciales para la generación eficiente de los números enteros."

Answer 1

De acuerdo a la tabla compilado por Thomas muy Bien, $q=18{,}691{,}113{,}008{,}663$ es la primera aparición de $666$ como una gran brecha. Muy bien los atributos el valor 1989 papel de Jeff Young y Aarón Potler.

Answer 2

También puede utilizar el primer número teorema para obtener una estimación. Algo así como: $$\text{Find }x\text{ such that}\\\;\\ \frac{x+666}{\ln(x+666)}=\frac{x}{\ln x}+1$$ Editar:

Gracias a la línea de Wolfram en la Nube, se me ocurrió algo como esto:

gap[x_,d_]:=(x+d)/Log[x+d]-x/Log[x]-1;
FindRoot[gap[x,666],{x,1000}]

lo que resultó en $x=3.8013\times 10^{17}$