Función impar $C^\infty$

Question

Supongamos que $$f\in C^\infty (\mathbb{R})$$ y que $f$ es una función impar. ($f(x)=-f(-x)$) Qué podemos decir acerca del cero en cero? ¿Tiene $f$ que ser de la forma $x g(x)$ para algún $g\in C^\infty (\mathbb{R})$? Sé que esto es cierto para funciones analíticas complejas, y creo que también lo es aquí, pero no sé cómo probarlo o refutarlo.

Answer 1

En realidad, siempre es cierto que para cualquier función suave $f(x)$ en los reales, existen funciones suaves $g, h$ en los reales tales que $f(x) = g(x^2) + xh(x^2)$. Para una prueba, te remito a: L. Hörmander, The Analysis of Linear Partial Differential Operators I, (Teoría de distribuciones y Análisis de Fourier), 2da ed, Springer-Verlag, 1990. Ejercicio 1.2.

Pido disculpas por no demostrarlo completamente - estoy un poco oxidado. Pero me ha pasado esto recientemente.

Sin embargo, puedo darte una idea general de una prueba. La idea es muy similar a la demostración de que cada función en los reales es la suma de una función impar y una función par. Algebraicamente, las funciones impares y pares forman cada una un espacio vectorial sobre los números reales. Luego considera un argumento de base. En última instancia, como la suma de una función impar y una función par no es ninguna de las dos, podemos eliminar la función par. Y así, para una función impar $f$, $f = xg(x^2)$.

Nota: Uso $g(x^2)$ solo para enfatizar que g es en sí mismo par.

Answer 2

Establezca $g(x) = \begin{cases} f(x)/x \; (x \ne 0) \\ f'(0) \; (x = 0) \end{cases}$. Luego verifique que $g$ tiene todas las derivadas en 0, usando polinomios de Taylor.

No se necesita analiticidad de $f$. Si $f$ es real analítica, entonces también lo es $g$.