Estoy tratando de encontrar el más pequeño $n$ tal que $1+1/2+1/3+....+1/n \geq 9$,
Escribí un programa en C++ y halló que el más pequeño $n$ $4550$.
Hay cualquier método matemático para resolver esta desigualdad.
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Jim Petkus
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La idea fue dado a mí por Voluntad Jagy. Estoy escribiendo porque él me sugirió hacerlo.
Deje $H_n:=\sum_{k=1}^n\frac{1}{k}$ $n$- ésimo número armónico. Es conocido (ver aquí o user17762 la respuesta de arriba) que $$ H_n=\ln n+\gamma+\frac{1}{2n}+O\left( \frac{1}{n^2}\right) $$ donde $\gamma$ denota Euler-Mascheroni constante. No es suficiente saber que para responder a su pregunta. Usted necesita las desigualdades, o un control preciso del término de error en la expansión. Aquí están dos de las desigualdades que suficiente.
Reclamo: hemos $$ S_n:=\ln n+\gamma <H_n< \ln n+\gamma+\frac{1}{2n}=:T_n $$ para todos los $n\geq 1$.
Aplicación: con la lhs, una calculadora, y $\gamma\simeq 0.5772156649$, nos encontramos con $H_{4550}>9.00009817>9$. Con la rhs, obtenemos $H_{4549}<8.99998828<9$. Por lo $n=4550$ es de hecho la primera de dichas $n$.
La prueba de la demanda: en primer lugar, vamos a mostrar que $x_n:=H_n-S_n$ disminuye. De hecho $$ x_n-x_{n+1}=-\ln n+\ln(n+1)-\frac{1}{n+1}=-\ln\left(1-\frac{1}{n+1} \right)-\frac{1}{n+1}>0 $$ donde la última desigualdad de la siguiente manera, por ejemplo, a partir del estudio de $f(x)=-\ln(1-x)-x$$(0,1)$. Desde $\lim x_n=0$, se deduce que el $x_n>0$ todos los $n\geq 1$. Que es el lado izquierdo de la desigualdad.
Ahora vamos a $y_n:=H_n-T_n$ y veamos que aumenta. Tenemos $$ y_{n+1}-y_n=\frac{1}{2(n+1)}+\frac{1}{2n}-\ln\left(1+\frac{1}{n}\right)>0 $$ donde la desigualdad se deduce del hecho de que la función correspondiente de $x$, en lugar de $n$, es la disminución en el $(0,+\infty)$ con límite de $0$$+\infty$. Por lo $y_n$ está aumentando con el límite de $0$. Esto significa que $y_n<0$ todos los $n\geq 1$, lo que demuestra el lado derecho de la desigualdad. QED.
i08in
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En caso de que no entiendes vonbrand y user17762 de razonamiento, ambos utilizan el hecho de que $\int_1^n \frac{dk}{k}=\ln{n}$ y se puede aproximar una suma por una integral (para valores grandes de n) con un factor de corrección. Aquí el factor de corrección es $\gamma$, la constante de Euler-Mascheroni.
Stephan Aßmus
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Usted puede mirar para arriba "digamma función" para más información. Una versión que he hecho yo, que utiliza una propiedad de simetría para dar a cada otro poder, es $$ H_n = \log \left( n + \frac{1}{2} \right) + \gamma + \frac{1}{6(2n+1)^2} - \frac{7}{60(2n+1)^4} + \frac{31}{126(2n+1)^6} - \frac{127}{120(2n+1)^8} + \frac{511}{66(2n+1)^{10}} - O \left( \frac{1}{(2n+1)^{12}} \right) $$ con $$ \gamma = 0.5772156649015328606065... $$
Pongo parte de esto en mi calculadora programable, sólo el 1/6 bla - 7/60 blabla. Debido a la alternancia de signos, esto es definitivo, demasiado pequeño con $n=4549,$ lo suficientemente grande con $n=4550.$ no Hay ninguna garantía de que los $\pm$ señales siguen a los suplentes, y el racional coeficientes se les permite crecer, nota: $511/66 \approx 7.74. $ El uso de expansiones asintóticas es para truncar en un lugar conveniente y sabe lo suficiente sobre el posible error. Interesante para poner esto en un programa de alta precisión, con una precisión extremadamente alta exigido para la $\gamma,$ y error de lo que yo escribí multiplicado por $(2n+1)^{12}.$
