¿Por qué el paquete de la tangente es orientable?

Question

Que $M$ sea un múltiple liso. ¿Cómo demuestro que la tangente paquete $TM$ $M$ es orientable?

Answer 1

Lo siento resucitar, pero nos deja un $($detallado$)$ a prueba de aquí que $TM$ tiene la estructura de una orientada a $2n$-colector, incluso si el $n$-colector $M$ es no orientable.

Deje $\{(U_\alpha, \phi_\alpha)\}_{\alpha \in A}$ ser un suave atlas de $M$, y deje $V_\alpha = \phi_\alpha(U_\alpha) \subset \mathbb{R}^n$. A continuación, $(\phi_\alpha)_*: TU_\alpha \to TV_\alpha = V_\alpha \times \mathbb{R}^n$ es un homomorphism $($tener inversa $(\phi_\alpha^{-1})_*$$)$. Por otra parte, los conjuntos de $TU_\alpha$ cubierta $TM$ y los mapas de transición$$t_{\alpha\beta} = (\phi_\alpha)_* \circ \left(\phi_\beta^{-1}\right)_* = \left(\phi_\alpha \circ \phi_\beta^{-1}\right)_*: V_\beta \times \mathbb{R}^n \to V_\alpha \times \mathbb{R}^n$$are orientation preserving. Let $x_1, \dots, x_n$ be coordinates on $V_\beta$, $x_{n+1}, \dots, x_{2n}$ be coordinates on the left copy of $\mathbb{R}^n$, $y_1, \dots, y_n$ be coordinates on $V_\alpha$, and $y_{n+1}, \dots, y_{2n}$ be coordinates on the right copy of $\mathbb{R}^n$. Note that $(y_1, \dots, y_n) = \phi_\alpha\left(\phi_\beta^{-1}(x_1, \dots, x_n)\right)$ does not depend on $x_{n+1}, \dots, x_{2n}$, so the Jacobian matrix $\left({{\partial y_i}\over{\partial x_j}}\right)$ of $t_{\alpha\beta}$ has all zeros in the upper right quadrant. It follows that$$\det\left({{\partial y_i}\over{\partial x_j}}\right)_{i,j = 1}^{2n} = \det\left({{\partial y_i}\over{\partial x_j}}\right)_{i, j = 1}^n \det\left({{\partial y_i}\over{\partial x_j}}\right)_{i, j = n +1}^{2n}.$$The first of these submatrices is the usual Jacobian of $\phi_\alpha \circ \phi_\beta^{-1}$. The second is the Jacobian of the linear transformation $\a la izquierda(\phi_\alpha \circ \phi_\beta^{-1}\right)_{*,\, (x_1, \dots, x_n)}$. Therefore$$\det\left({{\partial y_i}\over{\partial x_j}}\right)_{i, j = 1}^{2n} = \det\left(\left(\phi_\alpha \circ \phi_\beta^{-1}\right)_{*,\, (x_1, \dots, x_n)}\right)^2 > 0.$$This proves $\{(TU_\alpha, (\phi_\alpha)_*)\}_{\alpha \en A}$ is an oriented atlas for $TM$.

Answer 2

Comience con un atlas para $M$ y construir el atlas correspondiente a $TM$, cada una de cuyas cartas se construye de una $M$. Comprobar que las funciones de transición en el jacobiano con determinante positivo.

Answer 3

También hay un modo de ver con haces de fibras y característico de las clases. Es posible que el cartel original es que no están familiarizados, pero que otras personas puedan ser y lo que es más importante necesito práctica. Se basa en dos relativamente hechos básicos (al menos yo estoy seguro de que la mayoría los he visto antes):

1) Un suave $n$-colector $M$ es orientable si el primer Stiefel-Whitney de la clase de su tangente bundle $\tau_M$ se desvanece,

y

2) Si $\xi$ es un buen $k$-plano de conjunto con la base del espacio de $M^n$, el espacio total $E^{n+k}$ (a la vez suave colectores) y la proyección de $\pi:E\rightarrow M$, $$\tau_E=\pi^*(\tau_M)\oplus\pi^*(\xi)$$

Entonces, si $TM$ es el espacio total de la $n$-plano bundle $\tau_M$ con la proyección del mapa de $\pi\colon TM\rightarrow M$, es un buen colector con su propio tangente bundle $\tau_{TM}$. Desde $\pi$ es el mapa de proyección de $\tau_M$ hemos $$\tau_{TM}=\pi^*(\tau_M)\oplus\pi^*(\tau_M)$$ so by the Whitney product formula $$\omega_1(\tau_{TM})=(\pi^*\omega_0)(\tau_M)\cup(\pi^*\omega_1)(\tau_M)+(\pi^*\omega_1)(\tau_M)\cup(\pi^*\omega_0)(\tau_M)=2\pi^*\omega_1(\tau_{M})=0\in H^1(TM;\mathbb{Z/2})$$

Por lo tanto el colector $TM$ es orientable.

(Pero para todos los intentos y propósitos, la escritura de cartas es la manera más fácil de ir)