¿Cuando es $3^n + n$ una potencia de 2?

Question

¿Qué $n \in \mathbb{N}$ es $3^n + n$ una potencia de $2$?

Answer 1

Esta no es una solución completa, pero muestra que cualquier nontrival soluciones deben ser mindbogglingly grande si es que existe en absoluto.

Tenemos las soluciones triviales $3^0+0=2^0$$3^1+1=2^2$. Suponga $3^n+n=2^m$$n\ge 2$. Entonces claramente $m>n$. Nos encontramos con $1+n\equiv 0\pmod 2$, hene $n$ es impar. A continuación, $3^n\equiv 3\pmod 8$ y, por tanto,$n\equiv 5\pmod 8$, esp. $m\ge 6$. De $3^8\equiv 1\pmod{32}$ tenemos $3^n\equiv 19\pmod{32}$, por lo tanto $n\equiv 13\pmod {32}$. Surge un patrón.

Lema: Para $k\in\mathbb N$ tenemos $3^{2^k}\equiv 1\pmod {2^{k+2}}$

Prueba: Esto es cierto para $k=1$ y de $$3^{2^{k+1}}-1=(3^{2^k}-1)(3^{2^k}+1)$$ el reclamo sigue por indcution porque $3^{2^k}+1$ es incluso. $_\square$

Propositio: Asumir por parte de algunos $1\le k< a<2^k$ tenemos que para todas las soluciones no triviales de $3^n+n=2^m$ tenemos $n\equiv a\pmod{2^k}$. A continuación, para todos los que no son triviales soluciones de $3^n+n=2^m$ tenemos $n\equiv -3^a\pmod{2^{k+2}}$.

Prueba: Vamos a $3^n+n=2^m$ ser una solución no trivial. A continuación, con $n=2^kb+a$ algunos $b\in\mathbb N_0$ y por el lema $$3^n=3^a\cdot (3^{2^k})^b\equiv 3^a\pmod {2^{k+2}}.$$ Como $m>n\ge a>k$ encontramos $3^a+n\equiv 0\pmod{2^{k+2}}$. $_\square$

El uso de la proprosition podemos comenzar con $(k,a)=(3,5)$ y repetidamente reemplazar esto con $(k+2, -3^a\bmod {2^{k+2}})$. El proceso termina con un par de $(k,a)$ $a\le k$ (y, a continuación, necesariamente,$a=\in\{k,k-1\}$) o nunca se termina. En el último caso, llegamos a la conclusión de que no existe una solución no trivial, en el primer caso se podría haber encontrado una solución, y si le damos upprematurely, por lo menos obtener una estimación modular y la condición para que todas las soluciones no triviales. Se inicia la secuencia $$(3,5), (5,13), (7,45), (9,173), (11,685), (13,685), (15,25261)$$ y después de un par de pasos más, uno llega a $$(k,a)=(201,864075976670532385554180581999784042802808809920656868008621)$$ Especialmente, $m>n>8.64\cdot 10^{59}$. También nos pueden seguir en leat hasta $k\approx 8.64\cdot 10^{59}$ e espera $a$ a crecer accordinglyet.c sothat la secuencia de nunca acabar y, presumiblemente, no existe solución.

Tomando logaritmos, también encontramos que la $\frac{m}{n}$ es una muy buena aproximación a $\frac{\ln 3}{\ln 2}$, que es también una pista hacia la no-existencia de una solución.