$I\cap J = P$ ideal primo, entonces $P=I$ o $P=J$

Question

Pregunta: Demuestre que si $I,J$ son ideales y $I\cap J=P$ es un ideal primo, entonces $P=I$ o $P=J$ .

Mi prueba: Supongamos que $P\ne I$ . Entonces $I\cap J=P\subsetneq I$ y $\exists i\in I\setminus P$ . Ahora elija cualquier $j\in J$ . Entonces $ij\in I$ y $ij\in J$ ya que ambos son ideales. Así que $ij\in I\cap J=P$ . Desde $P$ es primo, o bien $i\in P$ o $j\in P$ . Pero elegimos $i\notin P$ por lo que debemos tener $j\in P$ es decir $J\subset P$ . Como $P\subset J$ (por definición $I\cap J=P$ ) concluimos que $P=J$ .

Nuestro profesor sólo proporcionó una prueba por contradicción (suponiendo que $P\ne I$ y $P\ne J$ ...), pero me interesaba una prueba directa. ¿Es correcta?

Answer 1

Me doy cuenta de que estás utilizando la definición ordinaria conmutativa de los ideales primos, pero quizá te interese saber que hay una versión no conmutativa de los ideales primos (se reduce a la definición conmutativa si el anillo es conmutativo): $P$ es un ideal primo si para dos ideales cualesquiera $I,J$ de $R$ , $IJ\subseteq P$ implica $I$ o $J$ es un subconjunto de $P$ .

Por lo tanto, hay una prueba muy directa de su problema para los anillos generales: Dado que $IJ\subseteq I\cap J$ , ya sea $I\subseteq I\cap J$ o $J\subseteq I\cap J$ . Así, $I\subseteq J\cap I\subseteq I$ o $J\subseteq I\cap J \subseteq J$ , demostrando que uno de ellos debe ser igual a $I\cap J$ .

Supongo que te asignaría este trabajo extra: demostrar que la definición no conmutativa de primo se reduce a la definición conmutativa en anillos conmutativos.