Límites superiores para el número de subgrupos intermedios

Question

Suponga que $G$ es un grupo finito, y $H\le G$ a un subgrupo de índice $n>1$.

¿Qué podemos decir sobre el número de los distintos intermedio subgrupos $K$, es decir, grupos que $H\subset K\subset G$?

Pensamientos: No importa cuán grande $n$ es, es posible que no subgrupos $K$ existen. Un ejemplo de ello es: $G=S_n$ $H=S_{n-1}$ (= un punto de estabilizador).

Por lo tanto la general, el límite inferior es trivial, pero de límites superiores son más interesantes. Nos deja denotar por $S(n)$ el número máximo de intermedio subgrupos (mantenga $n$ fijo, pero permitir que los $G$ $H$ a variar en cualquier forma que usted desee, siempre y cuando $[G:H]=n$).

Para conseguir una simple límite superior podemos hacer lo siguiente. Suponga que $K$ es un subgrupo con $[K:H]=d$, $1<d<n, d\mid n$. Entonces, además de la $H$, $K$ contiene $d-1$ cosets de $H$. Hay $\binom{n-1}{d-1}$ formas de selección de los. Esto nos da un trivial límite superior $$ S(n)\le\sum_{d\mediados de n, 1<d<n}\binom{n-1}{d-1}. $$ Esta obligado es difícil en el caso de $n=4$, debido a $H\unlhd G, G/H\cong K_4$ cumple con ella. En general es claramente suelto. Además, ya podemos ver que el primer factor de $p=2$ $n$ puede contribuir mucho.

Debido a $d=n/2$ es el valor más grande posible, la de arriba enlazado implica como una versión menos $$S(n)\le\sum_{i=1}^{n/2-1}\binom{n-1}{i}=2^{n-2}-1.$$

Motivación: Esta pregunta surge como el Galois de traducción de correspondencia de la pregunta por los límites en el número de intermedio entre los subcampos un perfecto campo de $K$ y su grado de $n$ extensión $F$. Ver a esta pregunta y esta pregunta.

Comentarios:

• El caso de $|H|=1, |G|=n$, seguramente ha sido estudiado. He incluido los más generales de la variante en el caso de que las cosas, porque es necesario en el campo teórico de la aplicación.
• En el caso de un fijo $K$ el campo teórico de las necesidades de la aplicación, además de información más precisa acerca de $S(n)$, también una respuesta afirmativa a la inversa de la teoría de Galois cuestión de darse cuenta de $G$ como grupo de Galois $Gal(F/K)$.

Answer 1

Esta es una anotada resumen de lo que he aprendido de el estudio de Geoff respuesta en MO y el material Gerry vinculado.

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Adición de un elemento a un grupo finito no ya en ella al menos se duplica su tamaño. Por lo tanto, cualquier subgrupo $K, H\subset K\subset G,$ es generado por en la mayoría de las $\log_2n$ cosets de $H$. Hay $n$ opciones para cada coset, por lo que hemos de conseguir (no muy apretada) límite superior $$ S(n)\le n^{\log_2n}=2^{(\log_2n)^2}. $$ Como un caso especial en el que tenemos un gran número de subgrupos consideremos el caso de $H\unlhd G$ donde $G/H$ es un elemental abelian 2-grupo, $n=2^k.$

A continuación, podemos ver $G/H$ $k$- dimensiones subespacio sobre el campo de dos elementos y todos los subgrupos también son subespacios. El número de $\ell$-dimensiones de los subespacios, $0<\ell<k,$ es $$ N(\ell)=\frac{(2^k-1)(2^k-2)(2^k-4)\cdots(2^k-2^{\ell-1})} {(2^\ell-1)(2^\ell-2)(2^\ell-4)\cdots (2^\ell-2^{\ell-1})}. $$ Aquí el numerador cuenta el número de ordenadas linealmente independientes subconjuntos de tamaño $\ell$, y el denominador se hace lo mismo cuando nos restringir el subconjunto a de venir de un determinado $\ell$-dimensiones del subespacio. Esto ha sido explicado en detalle en nuestro sitio muchas veces.

Mediante la aproximación de cada uno de los factores en la fórmula anterior por su líder término obtenemos una estimación aproximada $N(\ell)\approx2^{\ell(k-\ell)}$. Claramente el término $N(k/2)\approx 2^{k^2/4}$ domina en la suma de $S(G/H)=\sum_{\ell=1}^{k-1}N(\ell)$.

Esto muestra que el máximo es de forma aproximada $$S(n)=2^{C\cdot(\log_2n)^2}$$ for some constant $C\in[1/4,1]$.