¿Cuáles son las propiedades de las raíces de las series exponenciales incompleta/finito?

Question

Jugando con el incompleto/finito exponencial de la serie

$$f_N(x) := \sum_{k=0}^N \frac{z^k}{k!} \stackrel{N\to\infty}\longrightarrow e^z$$

for some values on alpha (e.g. solve sum_(k=0)^19 z^k/(k!) = 0 for z), I made a few observations:

• The sum of the roots of $f_N$ are $-$N
• El producto de las raíces de la $f_N$ $(-1)^N\cdot N!$
• Su parte imaginaria parece situarse entre $\pm10$
• Los ceros parecen formar una forma interesante:

Patrones para $N=17, 18, 19$

Ahora la suma y el producto son claras, ya que

$$\begin{align} f_N(x) &= \frac1{N!}\left(z^N + N z^{N-1} + N(N-1)z^{N-2} + ... + N!\right) \\ &= \frac1{N!}(z-z_{N0})(z-z_{N1})\cdots(z-z_{NN}) \\ &= \frac1{N!}\left(z^N - \left(\sum_{k=0}^Nz_{Nk}\right) z^{N-1} + ... + (-1)^N\prod_{k=0}^N z_{NK}\right) \end{align}$$

and since $e^z=0 \Leftarrow \Re z\-\infty$ es claro que las raíces tienden a piezas reales con el infinito negativo, pero todavía estoy intrigado por la pregunta

lo ($N$-dependiente) la curva de hacer los ceros de $f_N(z)$ mentira, hace que la curva de mantener su forma durante variación $N$ y se limita a traducir o también se deforman; y ¿qué otras propiedades de los ceros (por ejemplo, valor absoluto) se puede derivar?

Answer 1

Los ceros de la escala de funciones $f_N(Nz)$ hacer converger a un estabilizador-como la curva. Vea una animación aquí.

Vea también estos:

• Los ceros de la serie de Taylor truncada por Jonas (véase la bibliografía al final) (2013)

• Ceros de las sumas parciales de la función exponencial, por Zemke (2009)

• En los ceros de la n-ésima suma parcial de la exponencial de la serie por Zemyan (2005)

• Los ceros de las sumas parciales de la exponencial de la serie por Walker (2003)

Answer 2

Una foto más; Aquí cambiar la escala de las distancias radiales desde el origen a su logaritmo; se muestran las raíces de lo polinomios $f_{16},f_{32},f_{64},f_{128}$, la línea magenta es $f_{16}$. Me parece interesante, que las posiciones radiales encajan bien entre sí, ver las líneas rectas desde el origen (las raíces coincide exactamente con las líneas pero muy bueno)