Mi maestra de matemáticas dice que. Discrepé, pero dijo que estaba equivocado. ¿Pero no estoy convencido - es realmente derecho? Tenga en cuenta que no estoy hablando acerca de $\mathbb{R}$ $⊂$ $\mathbb{C}$ y $\mathbb{R}$ $<$ $\mathbb{C}$.
Respuestas
¿Demasiados anuncios?
Realmente depende de qué se entiende por "menos elementos".
La habitual idea de que la mayoría de los matemáticos utilizan para esto es "cardinalidad". Dos conjuntos de $X$ $Y$ tienen la misma cardinalidad si y sólo si hay un bijection entre ellos (una función de $f\colon X\to Y$ que "los pares", de modo que cada elemento de a $Y$ corresponde, en virtud de $f$, a uno y sólo un elemento de $X$). En el caso de conjuntos finitos, esto corresponde a nuestra noción usual de "tamaño", en el que dos conjuntos finitos tienen el mismo "cardinalidad" si y sólo si tienen el mismo número de elementos.
Pero para conjuntos infinitos, la noción introduce muchas consecuencias contrarias al sentido común: el conjunto de todos los números enteros tiene "la misma cardinalidad" como el conjunto de todos los números enteros, aunque es un subconjunto de la misma. De hecho, una forma de definir el "conjunto infinito", es decir que un conjunto es infinito si y sólo si tiene la misma cardinalidad como subconjunto.
Decimos que un conjunto a $X$ "estrictamente menor cardinalidad" de un conjunto $Y$ si y sólo si hay un uno-a-uno la función $f\colon X\to Y$, pero no hay ninguna en función de $g\colon X\to Y$. En particular, el hecho de que hay un uno-a-uno, pero no en surjection de $\mathbb{R}$ $\mathbb{C}$muestra que la cardinalidad de a $\mathbb{R}$ es menor que o igual a la de $\mathbb{C}$, pero no de mostrar que no es igual (solo porque esta función en particular no está en no significa que no existen en funciones).
En ese sentido, $\mathbb{R}$ $\mathbb{C}$ ambos tienen el "mismo tamaño", ya que ambos tienen la misma cardinalidad: en realidad hay un bijection entre el$\mathbb{R}$$\mathbb{R}^2$, y por supuesto no es un bijection entre el$\mathbb{R}^2$$\mathbb{C}$.
La media aritmética de cardinalidades es muy interesante, y no exenta de peligros (las respuestas pueden dependerá exactamente de lo que establece la teoría de los axiomas de aceptar o no aceptar, por ejemplo).
Por otro lado, usted puede intentar para medir el "tamaño" de otras maneras. Hay una natural noción de "tamaño" de los subconjuntos de los números complejos: su área, o al menos su exterior medida, cuando se ve como subconjuntos del plano; si se usa la noción de tamaño, entonces los números reales tienen "tamaño" $0$, mientras que el de los números complejos tienen infinitas tamaño, de modo que los números complejos son "más grandes". Añadido. O como t.b. sugiere en los comentarios, usted podría tratar de compararlos en términos de su dimensión como un $\mathbb{R}$-espacio vectorial ($\dim_{\mathbb{R}}(\mathbb{R}) = 1\lt 2 = \dim_{\mathbb{R}}(\mathbb{C})$. O cualquier otra de las varias maneras en que usted podría intentar comparar su "tamaño".
Yo diría, sin embargo, que no sería muy feliz de llamar a estas otras formas de comparación de su tamaño, "los reales tienen menos elementos de los números complejos", porque "menos elementos" parece referirse a un "recuento" de los elementos, y que conduce directamente a la noción de cardinalidad.
Anthony Cramp
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126
$\mathbb R$ es menor que $\mathbb C$ ... ??? En el sentido de cardinalidad, NO. (Como se explica en otras respuestas.) En el sentido de la dimensión de Hausdorff, SÍ. Qué sentido lo hizo su maestro significa?
Lo siento, pero a menudo encontramos que cuando un estudiante se informa de lo que un maestro dice, algunos detalles pueden distorsionarse o incluso omitirse. A menos que el maestro viene aquí y se convierte en una defensa, no podemos saber lo que está pasando. O, mejor aún, si el estudiante habla con el profesor (qué idea!) y se entera de lo que se pretendía.
Knox
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1543
No, no es correcto. Tanto el % de los números reales $\mathbb{R}$y el % de números complejos $\mathbb{C}$tienen la misma cardinalidad, $\mathfrak{c}$, que es la cardinalidad del continuo. Vea esta página de wikipedia .
Como regla general, si $A\subseteq B$ entonces usted puede decir que $|A|\leq|B|$, pero si $A\subset B$ (que es una relación de subconjunto estricto) que no se puede concluir que $|A| < |B|$.
bn.
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148
Hay dos sentidos de tamaño, que creo que ningún matemático ha pensado en términos de (aquí, ambas comparaciones estrictas):
- Subconjuntos: $A \subset B$: $A$ es un pequeño conjunto de $B$ que $B$ contiene elementos en $A$, y más.
- Cardinalidad: $A \prec B$: para algunos bijection $f$, $f[A] \subset B$
En este contexto,$\mathbb{R} \subset \mathbb{C}$$\mathbb{R} \prec \mathbb{C}$. Una forma de ver el segundo hecho es que el $\mathbb{C} = \mathbb{R}\times\mathbb{R}$ como conjuntos y que el producto (o suma, o max) de dos infinito cardinalidades es el máximo de los dos valores.
De todos modos, creo que sería difícil encontrar un matemático que no ha pensado en términos de 'más grande', 'menor', y 'tamaño', tanto en la comparativa de los sentidos de pertenencia (1) y el conjunto de cardinalidad (2). La noción de subconjunto es obviamente útil, mientras que la noción de cardinalidad se muestra en todas partes, cuando no se preocupan por las propiedades de los elementos del conjunto, que acaba de atención acerca de lo que se puede construir a partir de una serie. Ciego a las propiedades de los elementos de un conjunto pueden tener, lo único que permanece es la cardinalidad.
Creo que el único problema aquí no es el de las matemáticas, pero la semántica y de la terminología, que puede ser un punto de contención. Por ejemplo, he conocido a un par de personas que se oponen a cualquier forma de asociación entre el 'tamaño' en el sentido de intuición y de la definición matemática de la cardinalidad. Yo no he visto esto suceder dentro de la comunidad matemática. Quizás es porque los matemáticos están conectados de manera diferente o que nos encontramos a menudo los objetos exóticos en el mundo matemático no es más natural que las especies exóticas en el mundo biológico... y que, de hecho, la matemática del universo, no funcionan bien sin ellos.
