Teoría de cuerdas - OPE y operadores primarios

Question

En primer lugar, un descargo de responsabilidad: soy nuevo en Physics SE, y soy principalmente un matemático, no un físico. Me disculpo de antemano por la posible mala calidad de la pregunta, cualquier y gracias por su paciencia.

Actualmente estoy tratando de entender algunos fundamentos de la Teoría de Cuerdas, basándome en el script de D. Tong, disponible en: http://www.damtp.cam.ac.uk/user/tong/string.html . Estoy muy confundido sobre la OPE y algunos temas relacionados. (Para la definición, véase el mencionado script, páginas 69 en adelante; no sé lo suficiente como para saber qué mencionar aquí). Sí entiendo que una serie de "operadores" $O(z)$ se supone que se "insertan" en varios puntos $z$ del plano complejo, y se supone que la física subyacente está codificada de alguna manera en las partes singulares de las expresiones $O_1(z) O_2(w)$ con $w \simeq z$ . No me queda muy claro cómo puede ser que las partes singulares parezcan de alguna manera lo único que importa, pero esto es probablemente demasiado filosófico.

Me gustaría que se explicaran los llamados operadores primarios (página 76).

En primer lugar, ¿cuál es la intuición que hay detrás de ellas? ¿Hay alguna entidad física que representen?

La definición dice que $O(z)$ es principal si tiene el OPE con el tensor de tensión $T(z)$ de la forma:

$$ T(z)O(w) ~=~ \frac{h}{(z-w)^2}O(w) + \frac{\partial O(w)}{z-w}+\ldots$$

Al mismo tiempo, dice que esto es sólo decir que la OPE termina en el segundo orden, por lo que sonaría como si fuera siempre el caso de que si la OPE termina en el segundo orden, la OPE tiene esta forma particular. ¿Es este el caso? En particular, parece que si $O_1(z)$ es primario con $h_1$ y $O_2(z)$ es primario con $h_2$ entonces $(O_1+O_2)(z)$ tiene el polo de orden como máximo $2$ pero no tiene OPE de esta forma (¿o me estoy equivocando?).

Answer 1

Si se considera el $T(z)O(0)$ OPE, quieres escribir todos los términos singulares. En primer lugar, puede haber términos singulares que sean más singulares que $1/z^2$ . Si están ahí, significa que $O(0)$ no es un "campo tensorial". Por ejemplo, $T(z)$ no es un campo tensorial en las CFT con $c\neq 0$ porque hay un $c/z^4$ término en la OPE.

Sin embargo, aunque $O(0)$ es un campo tensorial y el $1/z^2$ y $1/z$ son los únicos que aparecen en la OPE, no significa que $O(0)$ es un operador primario. Es muy probable que no lo sea. Lo que el operador primario Ansatz requiere que el término que va como $1/z^2$ es un múltiplo del operador original $O(0)$ ¡el mismo!

Por lo tanto, el operador primario es un "estado propio" del tensor tensión-energía, en cierto sentido. La mayoría de las superposiciones generales de operadores primarios no serán operadores primarios. Si traducimos el operador primario a un estado en el espacio de Hilbert por la correspondencia estado-operador, será un estado propio de $L_0$ y el vector de estado más alto (un vector en una representación del álgebra de Virasoro con el mínimo valor propio posible de $L_0$ entre los vectores de la representación). La ausencia de $1/z^3$ y singularidades superiores equivale a que el estado correspondiente sea aniquilado por $L_n$ para valores positivos de $n$ ; y luego está la condición extra de "estado propio" bajo $L_0$ que se puede ver en el coeficiente de la $1/z^2$ plazo de la OPE.

En cierto sentido, no es natural combinar operadores primarios con diferentes dimensiones $h$ en superposiciones: viola el "análisis dimensional" porque estos operadores tienen las unidades de ${\rm mass}^h$ .