Verde ' identidad contradice el teorema de Helmholtz

Question

Sea F un campo vectorial en un dominio acotado $V \subset \mathbb{R}^3$, que es dos veces diferenciable, vamos a $S := \partial V$.

De acuerdo con el Teorema de Helmholtz, F puede ser descompuesto, tal que:

$$ \mathbf{F} = -\nabla \Phi + \nabla \wedge \mathbf{A} $$ , donde

$$ \Phi (\mathbf{x}) = \frac{1}{4\pi} \int_V {\nabla ' \mathbf{F}(\mathbf{x}') \|\mathbf{x} - \mathbf{x}'|}dV' - \frac{1}{4 \pi} \oint_S {\langle \mathbf{n}', \mathbf{F}(\mathbf{x} ') \rangle \ | \mathbf{x} - \mathbf{x}' |}dS' \\ $$ $$ \mathbf{A} (\mathbf{x}) = \frac{1}{4\pi} \int_V {\nabla ' \wedge \mathbf{F}(\mathbf{x}') \|\mathbf{x} - \mathbf{x}'|}dV' - \frac{1}{4 \pi} \oint_S { \mathbf{n}' \wedge \mathbf{F}(\mathbf{x} ') \ | \mathbf{x} - \mathbf{x}' |}dS' $$

La aplicación de este, por ejemplo, a la estática de las ecuaciones de Maxwell: $$ \mathbf{E}(\mathbf{x} ) = -\nabla \Phi (\mathbf{x}) $$ $$ \nabla \mathbf{E}(\mathbf{x} ) = {\rho( \mathbf{x} ) \\epsilon_0 } $$

obtenemos:

$$ \Phi (\mathbf{x}) = \frac{1}{4\pi\epsilon_0} \int_V { \rho(\mathbf{x}') \|\mathbf{x} - \mathbf{x}'|}dV' + \frac{1}{4 \pi} \oint_S \frac{\langle \mathbf{n}', \nabla ' \Phi(\mathbf{x} ') \rangle}{| \mathbf{x} - \mathbf{x}' |}dS' \\ $$

Usando el Verde de la segunda identidad, podemos obtener un similar resultado:

$$ \Psi(\mathbf{x} ) = {1 \over 4\pi } \int_V { 1 \over | \mathbf{x} - \mathbf{x} ' |} \Delta \Psi(\mathbf{x} ') dV' + {1 \over 4\pi } \oint_{S} { \langle \mathbf{n} (\mathbf{x} '), \nabla '\Psi(\mathbf{x} ' ) \rangle \ | \mathbf{x} - \mathbf{x} '| } dS' - {1 \over 4\pi } \oint_{S} \Psi(\mathbf{x} ') \langle \mathbf{n} (\mathbf{x} ' ), \nabla ' { 1 \over | \mathbf{x} - \mathbf{x} '| } \rangle dS' $$ $$ \Psi(\mathbf{x} ) = {1 \over 4\pi\epsilon_0} \int_V { \rho(\mathbf{x}') \ | \mathbf{x} - \mathbf{x} '| } dV' + {1 \over 4\pi } \oint_{S} { \langle \mathbf{n} (\mathbf{x} '), \nabla '\Psi(\mathbf{x} ' ) \rangle \ | \mathbf{x} - \mathbf{x} '| } dS' - {1 \over 4\pi } \oint_{S} \Psi(\mathbf{x} ') \langle \mathbf{n} (\mathbf{x} ' ), \nabla ' { 1 \over | \mathbf{x} - \mathbf{x} '| } \rangle dS' $$

Estoy preocupado por el término adicional en la segunda variante.

A primera vista las diferentes variantes no tienen contradecir ya que el potencial de un campo no se determina únicamente, sin condiciones adicionales impuestas. Pero para un campo dado $E: V\subset \mathbb{R}^3 \rightarrow \mathbb{R}^3$, $E = - \nabla \Phi = - \nabla \Psi$ implica que $$ 0 = {1 \over 4\pi } \nabla \oint_{S} \Psi(\mathbf{x} ') \langle \mathbf{n} (\mathbf{x} ' ), \nabla ' { 1 \over | \mathbf{x} - \mathbf{x} '| } \rangle dS' $$

Sin embargo, esto no parece ser cierto en general (tomar un potencial que es constante ( $\neq 0$ )$\partial V$, por ejemplo).

Lo que me estoy perdiendo aquí?

Answer 1

el potencial de un campo no se determina únicamente, sin condiciones adicionales impuestas

Verdadero. En la descomposición de Helmholtz $\mathbf{F} = -\nabla \Phi + \nabla \wedge \mathbf{A}$ podemos añadir cualquier armónica función de a $\Phi$, debido a que el gradiente de una función armónica es un campo solenoidal, que puede ser absorbida por el plazo $\nabla \wedge \mathbf{A}$.

Así, cuando se descomponen $\mathbf{E}(\mathbf{x} ) = -\nabla \Phi (\mathbf{x})$, se recuperan $\Phi$ hasta un armónico de la función. Y el término que le molesta, $$\oint_{S} \Psi(\mathbf{x} ') \left \langle \mathbf{n} (\mathbf{x} ' ), \nabla ' { 1 \over | \mathbf{x} - \mathbf{x} '| } \right \rangle dS'$$ es armónico en $V$.

En otras palabras, su última línea se necesita un símbolo de corrección:
$$0 = {1 \over 4\pi } \Delta \oint_{S} \Psi(\mathbf{x} ') \left\langle \mathbf{n} (\mathbf{x} ' ), \nabla ' { 1 \over | \mathbf{x} - \mathbf{x} '| } \right \rangle dS'$$