¿Que sistemas están presentes en todos los modelos de ZF?

Question

Como en el título: la existencia de lo que establece es implícita por los axiomas de $\mathsf{ZF}$? Por ejemplo, uno de esos conjunto podría ser el conjunto vacío cuya existencia es exigido por el Axioma del Conjunto Vacío.

Pero son, por ejemplo, todos los números ordinales también presente en cada modelo, ya que su existencia se deduce de los axiomas? Supongo que la respuesta debe ser no como podemos tener contables modelos de $\mathsf{ZF}$, pero hay una cantidad no numerable de números ordinales.

O hacer ordinales acaba de pasar a estar presente en cualquier modelo estándar debido a la estructura del modelo?

En respuesta a Trevor último párrafo: Tratando de hacer mi pregunta matemáticamente preciso, me gustaría preguntar: aparte de $P(x)=$ "$x$ es el conjunto vacío", que establece sabemos intuitivamente están presentes en todos los modelos. Por ejemplo, sabemos que existe un conjunto infinito. Pero ¿puede haber un modelo donde el más pequeño conjunto infinito ya es incontable, de modo que no existen números naturales $\omega$? Y del mismo modo, puede haber un modelo donde no hay representación de los números reales?

Gracias por su ayuda.

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Segunda edición: Después de la lectura de Trevor editar me gustaría parafrasear a mi pregunta de la siguiente manera:

Para que los conjuntos de $s$ que conocemos, como por ejemplo, el conjunto vacío, $\omega$, $\mathbb R$, los números ordinales, no $M$ piensa que $s$ existe? Tratando de escribir como una fórmula: Para que $s$,$M \models \exists x (x = s)$.

Answer 1

Como Asaf, señaló, no es cierto que $\omega$ está en cada modelo de ZF. Ni siquiera es cierto que cada modelo de $(M,E)$ de ZF tiene un conjunto $X$ tal que $(X,E \restriction X \times X)$ es isomorfo a $(\omega, \mathord{\in} \restriction \omega \times \omega)$.

No voy a responder a la pregunta yo creo que puede que tenga quería preguntar, a saber, "lo que pone en cada transitiva modelo de ZF?"

Los conjuntos que se encuentran en cada modelo transitivo de ZF son los que están en $L_\alpha$, $\alpha^\text{th}$ nivel de Goedel del universo construible $L$ donde $\alpha$ es menos que $L_\alpha$ satisface ZF. Esto es porque si $M$ es un modelo transitivo de ZF, a continuación, $L^M$ es un nivel de $L$.

Por cierto, no tiene sentido formal de decir "un axioma implica $X$" o incluso "un axioma implica la existencia de $X$" donde $X$ es un conjunto. Lo que hace sentido, es decir "un axioma implica la existencia de un conjunto $X$ propiedad $P$." Esto tiene sentido porque "existe un conjunto $X$ propiedad $P$" es una declaración. Axiomas implican declaraciones, no se establece. Por supuesto que no debe estar en contra de la ley para decir imprecisa cosas, pero creo que en este caso puede estar causando confusión.

EDITAR:

ZF se demuestra que la clase de todos los ordinales finitos, denotado $\omega$, existe como un conjunto. Si $(M, \in)$ es un modelo transitivo de ZF, a continuación,$\omega^M$, que es el elemento de $M$ que el modelo de $(M,\in)$ piensa que es la clase de todos los ordinales finitos, es igual a $\omega$ sí. Además los ordinales finitos de $M$ son exactamente los ordinales finitos.

La clase de todos los ordinales de $M$, denotado $\text{Ord}^M$, es un segmento inicial de $\text{Ord}$, la clase de todos los ordinales. Si $M$ es un conjunto en lugar de una clase adecuada, a continuación, algunos de los ordinales será que falta desde $\text{Ord}^M$. En este caso, $\text{Ord}^M$ es en sí mismo un ordinal.

Por el Loewenhein–teorema de Skolem, $M$ puede ser contable, en cuyo caso $M$ no contiene innumerables los números ordinales y las $\text{Ord}^M$ es una contables ordinal. Sin embargo, por Cantor del teorema aplicado en $(M,\in)$, hay muchos números ordinales en $M$ que son innumerables en $M$, incluso a pesar de que son contables en $V$. Este (aproximadamente) es conocido como el de la paradoja de Skolem.

Los números reales pueden ser codificados como subconjuntos de a $\omega$ de una manera absoluta, porque $\omega^M = \omega$, $\mathbb{R}^M$ es un subconjunto de a $\mathbb{R}$. Sin embargo, la igualdad no puede fallar: por ejemplo, si $M$ es contable, a continuación, $\mathbb{R}^M$ es contable y por lo tanto no puede ser igual a $\mathbb{R}$.

Answer 2

No hay ningún conjunto está presente en "todos" los modelos de ZF.

Para ver este supongamos que $(M,E)$ es un modelo de ZF, es decir, $E$ satisface todas las propiedades que $\in$.

Ahora defina $M'$$\{x\cup\{M\}\mid x\in M\}$$E'=\{\langle x\cup\{M\},y\cup\{M\}\rangle\mid \langle x,y\rangle\in E\}$, entonces claramente $(M',E')$ es isomorfo a $(M,E)$ y por lo tanto es un modelo de ZF, sin embargo $M\cap M'=\varnothing$.

Por otro lado, todos los transitiva de los modelos tienen el mismo finito de conjuntos.

Esta pregunta es un poco como preguntar a qué número es, en todos los grupos. Seguramente, todos ellos tienen un elemento neutro, pero este no es el mismo elemento en cada grupo.

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Para el comentario, si nos fijamos en $H(\omega)$ todos los conjuntos que son realmente hereditariamente finitos (es decir, que son finitos, y sus miembros son finitos, y así sucesivamente) se puede encontrar dentro de cualquier modelo de ZF; a pesar de $H(\omega)$ sí mismo podría no ser encontrado allí.

La razón es que podemos escribir una definición que define unívocamente a cada conjunto en $H(\omega)$, tal definición sería como "hay cinco elementos; uno es el singleton de la set en el que hay tres elementos ..." (este tipo de declaraciones se larga a escribir, incluso formalmente). Si $(M,E)$ es un modelo de ZF, a continuación, hay un conjunto único con la propiedad de ser "vacío", y a partir de este conjunto en esencia podemos definir todos los otros juegos en $H(\omega)$.

Tenga en cuenta que $H(\omega)$ sí (y, equivalentemente,$\omega$) no necesita ser un elemento del modelo, si se tratara de entonces fue la $\omega$ de la modelo (es necesariamente el menor conjunto inductivo). Pero es posible tener un modelo cuyas $\omega$ es no-estándar.