Mostrando la línea de Sorgenfrey es paracompacto

Question

El Sorgenfrey Línea es $\mathbb R_/ = (\mathbb R, \tau_s)$ donde $\tau_s$ es la topología en $\mathbb R$ con base $\{[a, b)\ |\ a, b \in \mathbb R\}$. Sé cómo mostrar $\mathbb R_/$ no es localmente compacto. Resulta que el único compacto pone en $\mathbb R_/$ son en el mejor de los contables.

Lo que quiero demostrar es que es paracompact. No se puede utilizar la prueba usual que trabaja en $\mathbb R$ debido a que utiliza un refinamiento de cualquier abra la cubierta de $\mathbb R$ que se construye con el hecho de que cerraron las bolas son compactos en $\mathbb R$, el cual no puede ser utilizado aquí.

Estoy seguro de que voy a averiguar eso, finalmente, pero cualquier comentario sería bueno. Esta no es una tarea duda, es un pozo de re-entrada de mi Honra proyecto, en el que tengo que usar paracompactness como un requisito previo en algunas de las pruebas que estoy estudiando. Me aspirado en el estudio de la línea de Sorgenfrey, pero necesito volver a mi proyecto, estoy demasiado fácilmente distraídos.

Glosario:

Localmente Compacto: $X$ es localmente compacto si para cada a $x \in X$ existe un conjunto compacto $K \subset X$ que en sí mismo contiene un abierto barrio de $x$.

Paracompact: $X$ es paracompact si toda cubierta abierta $A$ $X$ tiene un refinamiento $B$, de modo que todos los $x \in X$ tiene un barrio que se cruza con un número finito de miembros de $B$.

Answer 1

SUGERENCIA: Demostrar que la línea de Sorgenfrey es Lindelöf y usar el hecho de que un regular espacio de Lindelöf es paracompacto. Para probar que es Lindelöf, comience con una cubierta abierta básica $\mathscr{U}$ (es decir, una cubierta por conjuntos de la forma $[a,b)$). Mostrar que $\{(a,b):[a,b)\in\mathscr{U}\}$ cubre todo pero un subconjunto contable de $\Bbb R$ y utilice el hecho de que $\Bbb R$ con la topología usual, siendo en segundo lugar contable, hereditario es Lindelöf.

Answer 2

Tardanza en responderte, pero he pensado que me gustaría añadir un "ensuciarse las manos". A continuación voy a indicar por $\mathbb{S}$ la línea de Sorgenfrey, por $\mathbb{R}$ la línea real (con la topología usual), y por $\mathsf{R}$ simplemente el conjunto de los números reales. Si me dan un subconjunto de a $\mathsf{R}$ el superíndice bien $^{\langle \mathbb{S} \rangle}$ o $^{\langle \mathbb{R} \rangle}$ quiero considerar como un subconjunto (o subespacio) de la Sorgenfrey de la línea o la línea real, respectivamente. (Así, por ejemplo, "$A^{\langle \mathbb{S} \rangle}$ está abierto" significa que $A$ es un subconjunto abierto de $\mathbb{S}$.)

1. Deje $\mathcal{U}$ ser arbitraria abra la cubierta de $\mathbb{S}$.

2. Considere la posibilidad de $W := \bigcup_{U \in \mathcal{U}} \operatorname{Int}_{\mathbb{R}} ( U )$ (donde el interior es tomada con respecto a los $\mathbb{R}$). Claramente, $W^{\langle \mathbb{R} \rangle}$ está abierto, y por lo tanto es una contables de la unión de pares distintos intervalos abiertos. Sin ningún esencial pérdida de generalidad, podemos suponer que cada uno de estos intervalos abiertos es acotado, es decir, $W = \bigcup_{n \in \mathbb{N}} (a_n,b_n)$, e $(a_m,b_m) \cap (a_n,b_n) = \varnothing$ siempre $m \neq n$.

3. Podemos mostrar que $\mathsf{R} \setminus W = \{ a_n : n \in \mathbb{N} \}$.

4. Dado cualquier $n \in \mathbb{N}$:

   • Hay un $U_n \in \mathcal{U}$ $d_n > a_n$ tal que $[a_n,d_n) \subseteq U_n$. Tenga en cuenta que debe ser ese $d_n \leq b_n$. (Si $d_n = b_n$ podemos establecer $\mathcal{W}_n := \varnothing$ y omitir los dos puntos para este $n$; por lo tanto, asumir que $d_n < b_n$ en los dos puntos siguientes.)

   • Considere la posibilidad de $\mathcal{W}_n^* := \{ \operatorname{Int}_{\mathbb{R}} ( U ) \cap (a_n,b_n) : U \in \mathcal{U}, U \cap (a_n,b_n) \neq \varnothing \}$. De ello se desprende que $\mathcal{W}_n^*$ es una cubierta abierta de a $(a_n,b_n)^{\langle \mathbb{R} \rangle}$, y desde $(a_n,b_n)^{\langle \mathbb{R} \rangle}$ es paracompact, hay un localmente finito abierto refinamiento $\mathcal{W}_n^\prime$$\mathcal{W}_n^*$.

   • Ahora vamos a $\mathcal{W}_n := \{ W \cap [ d_n , b_n ) : W \in \mathcal{W}_n^\prime \}$. De ello se desprende que $\mathcal{W}_n$ es un localmente finito de la familia de subconjuntos abiertos de $\mathbb{S}$ que cubre $[d_n,b_n)$.

5. Entonces puede demostrarse que $\mathcal{V} := \{ [a_n,d_n) : n \in \mathbb{N} \} \cup \bigcup_{n \in \mathbb{N}} \mathcal{W}_n$ es un localmente finito abrir el refinamiento de $\mathcal{U}$.