¿Por qué una resolución libre en lugar de simplemente una proyectiva?

Question

Supongamos que tenemos un módulo a través de un anillo. Elegimos una resolución proyectiva, la cual nos permite definir derivados de functors. En particular, a veces podemos elegir nuestra resolución de ser libres.

Siempre oigo el término "resolución" se utiliza, y que me indica que hay ciertas situaciones en las que nos gustaría específicamente una resolución libre, y no meramente un proyectiva; de lo contrario nos acababa de decir "proyectiva de la resolución", y dejar libres las resoluciones de ser un buen caso.

¿Cuáles son las ventajas de elegir un libre sobre una resolución meramente descriptiva?

Answer 1

Como usted dijo, libre de resoluciones proyectivas de las resoluciones. Pero es importante remmember que en álgebra homológica usted sólo tiene que tomar CUALQUIER resolución proyectiva, en la mayoría de los casos.

La gran diferencia es que es más fácil (en forma) para la construcción de una resolución libre de una resolución proyectiva. Basta con mirar en el ser para el existense de suficiente proyectivas de los objetos en la categoría de módulo de un anillo con unidad, y convencerse de que es más difícil encontrar una resolución proyectiva de una resolución libre, donde usted sólo tiene que encontrar un set de generación de energía (no aunque sea mínima) de un módulo de $M$.