¿Cómo hallar algebraicamente el delta para un épsilon dado?

Question

Para el límite $$\lim_{x\to 5}\sqrt{x-1}=2$$ encontrar un $\delta>0$ que funciona para $\epsilon=1$ .

En otras palabras, encontrar un $\delta>0$ tal que para todo $x$ , $$0<|x-5|<\delta \implies |\sqrt{x-1}-2|<1$$

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Bien, esto es lo que hice... $$|\sqrt{x-1}-2|<1$$ $$-1<\sqrt{x-1}-2<1$$ $$1<\sqrt{x-1}<3$$ $$1<x-1<9$$ $$2<x<10$$
Como tengo que conseguir $x$ en la desigualdad simplificada anterior para cambiar a $x-5$ decidí restar 5 en todos los lados, así: $$2-5<x-5<10-5$$ $$-3<x-5<5$$

Pero no sé si eso es correcto o no. Por favor, ayúdenme.

Answer 1

Suponiendo que tu álgebra sea correcta (no lo he comprobado cuidadosamente), has demostrado que $|\sqrt{x-1}-2|<1$ si y sólo si $-3<x-5<5$ . Ahora quiere encontrar $\delta>0$ para que si $|x-5|<\delta$ entonces $-3<x-5<5$ . Pero $|x-5|<\delta$ es lo mismo que $-\delta<x-5<\delta$ . Entonces, ¿cuál es el valor adecuado de $\delta$ ?

Answer 2

Usted sabe que si $-3 < x-5 < 3 \implies -3 < x-5 < 5$ . Esto significa que puede tomar $\delta = 3$ .