¿Cómo cerrar la brecha entre saber intuitivamente que algo es verdadero vs poder probarlo?

Question

Por ejemplo, uno de mis revisión de problemas es: Vamos a $S_k$ ser el núcleo de $T^k$. Mostrar que hay un $K$ tal que $S_K = S_{K+1} = \cdots$

En algún lugar en la parte de atrás de mi cerebro hay una intuición que me dijo, "Bueno, duh, $K = \dim(T)$." Obviamente (para mí) una vez $K$ obtiene más grande que $\dim(T)$, que es el ciclismo alrededor en algunos de los $T$-subespacio invariante, o está en el espacio nulo. Mi cerebro llegamos allí por la concepción de una matriz en mi cabeza y pensar sobre lo que iba a suceder a cada vector en el dominio hasta que estuvo satisfecho de que $K=\dim(T)$ satisface el símbolo del sistema. En este punto, que una parte de mi cerebro estaba contenido que existe una solución y se trasladó a algo más interesante. Pero si yo sentarse y tratar de demostrarlo con sólo las propiedades de las transformaciones y los subespacios, yo no sé ni por dónde empezar. Puedo hacer una base? Hago recuento de las dimensiones? Nada de lo que yo intente parece a mí conseguir en cualquier lugar.

Creo que mi cerebro está pensando acerca de la manera equivocada. La división inferior de la matemática es acerca de la manipulación de fórmulas y cálculo. Tengo bastante bien hacer eso, y ahora mi cerebro se parece a atacar cada problema de esa manera. Me da la sensación de hablar con los otros (inteligente) de las personas que las pruebas son diferentes. Cuando mis instructores llegado con las pruebas parecen estar haciendo algo completamente diferente en sus mentes de lo que estoy haciendo. A mí me parece más afín a la solución de un rompecabezas que a la manipulación de las ecuaciones. No veo lo que están haciendo que la hace tan claro para ellos, en la forma en que la división inferior de la materia que está claro para mí.

He escuchado muchos consejos, incluyendo "Escribe la primera línea y la última línea de su prueba y, a continuación, tratar de llenar los vacíos". Y también, "las instrucciones de Escritura para todo lo que usted sabe que es verdad en un solo lugar". Y también, "Escribir tantas declaraciones como puede hasta que vea algo que puede ayudarle a tomar la conclusión de que necesita". Y así sucesivamente. Estos son buenos consejos que ayudan a simplificar el problema, pero me siento como la verdadera solución es volver a cablear mi cerebro a pensar de una manera diferente. Aquí sentado y mirando y haciendo docenas de pruebas no ha llegado a mí en cualquier lugar, así que estoy esperando algunas visión de algunas de las personas más inteligente que yo.

Answer 1

Sus profesores no están pensando de manera muy diferente de lo que puede. Pero las pruebas están ofreciendo son (la mayoría del tiempo) los resultados de alguien, pensar en el problema "intuitivamente", a ver por qué la proposición "tiene que" ser verdad, poniendo a cada paso en que la intuición en un justificable declaración. El último paso es el que usted está teniendo problemas con el.

Así que hay dos cuestiones difíciles. La primera es ser capaz de expresar los pasos del razonamiento intuitivo como pasos en una prueba. Por ejemplo, cuando usted piensa "$J(K)$ es el ciclismo alrededor en algunos subespacio" usted tiene que darse cuenta de que significa que si usted tiene el conjunto de los valores anteriores de $J(n)$, $J(K)$ puede ser expresado como una combinación lineal de los valores anteriores. Así que en algún momento usted estar diciendo algo así como "Vamos a $W(n)$ ser el espacio atravesado por ..." y luego, desde tu intuición te está guiando correctamente, usted tendrá que decir que algunos de los nuevos vectores(s) debe ser expresable como una combinación de los vectores de la base de $W(n)$ si la dimensión es, al menos,$K$.

El segundo asunto difícil es que en una prueba, usted tiene que llenar en el límite de los casos y asegurarse de que cada paso es hermético. Y si usted está haciendo matemática real, y no sólo una tarea o prueba de problema, habrá algunas veces donde en llenar esos límites de los casos, usted tendrá que agregar restricciones para (debilitar) su original propuesta.

El último paso en una bonita prueba para ver cómo usted puede cambiar su razonamiento, así como para hacer la prueba más clara, más corto, o más elegante. Esa última parte es realmente un arte, y puede ser un lugar donde usted no tiene tanto talento como algunos de los mejores matemático.

Answer 2

Podemos probar el kernel de $T^n$ es un subespacio de que el núcleo de $T^{n+1}$.

Prueba: supongamos $v$ estar en el núcleo de $T^n$, $T^{n+1}v=T(T^n(v))=T(0)=0$ $v$ también está en el núcleo de $T^{n+1}$. desde la dimensión del núcleo es limitada debe b e a un punto donde la dimensión del núcleo de $T^k$ es la misma que la dimensión de $T^{k+1}$.Dado un espacio vectorial de dimensión finita, no puede tener un subespacio con la misma dimensión que sí otros que sí tenemos el núcleo de $T^k$ $T^{k+1}$ es el mismo. a partir de aquí, supongamos que hay un elemento $v$, de modo que $T^m(v)=0$ pero $T^k(v)\neq0$. Deje $m$, para que $T^{m-1}(v)\neq0$. Luego tenemos a $T^{m-1-k}(v)$ no está en el núcleo de $T^k(v)$, pero luego no es también en el núcleo de $T^{k+1}(v)$ $T^m=T^{k+1}(T^{m-1-k}(v))\neq 0$ una contradicción.

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En cuanto a la otra pregunta, creo que se podría intentar escribir las ideas en su mente, tratando de convertirlos en concreto. A veces usted tiene que estar familiarizado con la notación y a veces es la práctica.

Por ejemplo: la primera vez que me enteré de grupo de teoría que no tiene idea de cómo probar la declaración si dos identidades que existen son el mismo. lo probé por alrededor de una hora y no tenía idea de cómo hacerlo. Ahora si veo un problema similar yo sé qué clase de cosas que debo escribir.