Es cierto que cualquier matriz se puede descomponer en producto de rotación,reflexión,de corte,de escala y las matrices de proyección?

Question

A mí me parece que cualquier transformación lineal en $R^{n\times m}$ es una serie de aplicaciones de rotación(en realidad creo que cualquier rotación puede lograrse mediante la aplicación de dos reflexiones, pero no estoy seguro), de reflexión, de corte, de escala y la proyección de las transformaciones. Uno o más de cada tipo en un cierto orden.

Esta es la forma en que he estado imaginando a mí, pero yo era incapaz de encontrar la prueba de esto en el internet.

¿Es esto cierto? Y si esto es cierto, hay una manera de encontrar una descomposición?

EDIT: para que quede claro, me estoy preguntando si es cierto que $\forall A\in R^{n \times m} $,$$A=\prod_{i=1}^{k}P_i$$ Donde $P_i$ es la rotación, reflexión, de corte, de la escala, o la matriz de proyección en $R^{n_i\times m_i}$. También se $n,m,k\in N$,e $n_i,m_i\in N$ para todo i.

Y si es cierto, entonces ¿cómo podemos descomponer en el producto.

Answer 1

La cuestión no se plantea completamente claramente, pero creo que algo parecido a lo que desea el interrogador debe seguir rápidamente a partir de la descomposición de valor singular, que establece que cualquier real de la matriz de $A$ puede ser escrita en la forma $$ A=UDV, $$ donde $U$ $V$ son cuadrados real ortogonal de matrices y $D$ es un (posiblemente rectangular) matriz diagonal con no negativo de las entradas en la diagonal. Desde $U$ $V$ son ortogonales son productos de rotaciones y reflexiones, mientras que $D$ puede ser considerado como un producto de las proyecciones y escalas.

Por ejemplo, si $$ A=\left(\begin{array}{cc}1&2x\\0&1\end{array}\right), $$ entonces $$ A= \left(\begin{array}{cc}\cos \phi&-\sin\phi\\\sin\phi&\cos\phi\end{array}\right) \left(\begin{array}{cc}\sqrt{x^2+1}-x&0\\0&\sqrt{x^2+1}+x\end{array}\right) \left(\begin{array}{cc}\cos\theta&-\sin\theta\\\sin\theta&\cos\theta\end{array}\right), $$ donde $$ \phi=-\frac{\pi}{4}-\frac{1}{2}\arctan x, \qquad \theta=\frac{\pi}{4}-\frac{1}{2}\arctan x. $$

En respuesta a los comentarios de abajo: la Interpretación de una matriz diagonal con un resultado positivo de las entradas a lo largo de la diagonal como una escala se basa en permitir el escalado no uniforme, es decir, permitiendo a escala de los diferentes ejes en diferentes cantidades. Si la escala de las matrices están restringidos a ser uniforme, a continuación, mediante el uso de ejemplos como el anterior, se puede escribir una plaza matriz diagonal con un resultado positivo de las entradas como un producto de matrices ortogonales, tijeras, y un uniforme de escala.

Answer 2

Hay varias cosas que son verdad y conocido por un largo tiempo, relacionado con la pregunta. En primer lugar, podemos considerar la no-singular matrices sin pérdida de generalidad, ya que cualquier singulares de la matriz puede ser escrito (en muchos sentidos) como no-singular compuesto con (ortogonal) de proyección.

Como en la otra respuesta, la "descomposición de valor singular" (un ejemplo de Cartan de descomposición, válida en muchos otros escenarios) expresa una arbitraria no singular (real, para specificness) de la matriz como un producto de la rotación, la diagonal de la matriz, y otro de rotación. Sí, esto hace expresa "la esquila" como tal composición.

Otro de descomposición de la no-singular real de las matrices es el producto de cizallamiento (triangular superior con 1 en la diagonal), en diagonal, y luego de rotación. Entre otras de sus nombres, este es un caso especial de "Iwasawa de descomposición".

Sin embargo, otro es el producto de la parte superior triangular de la matriz de permutación (=exactamente una entrada distinto de cero, un "1", en cada fila y columna), y luego otro corte. Este es un caso especial de "Bruhat de descomposición".

Sí, cada uno de estos se aplica a los componentes de los otros.

Answer 3

La afirmación "cualquier transformación lineal es una serie de aplicaciones de proyección transformaciones" no es correcto. J. A. Erdos demostraron que cada noninvertible $n\times n$ matriz es finito, producto de las matrices de proyección. Un elmentary prueba se puede encontrar aquí [Elemental Prueba de Que Cada Singular de la Matriz Es un Producto de Idempotente de las Matrices J. Araújo y J. D. Mitchell, La American Mathematical Monthly, Vol. 112, Nº 7 (Ago. - Sep., 2005), pp 641-645] Y no es el caso para invertir matrices en general.