Continuidad y suavidad en realidad, no son suficientes por sí mismos para estar seguros de que hemos dibujado un gráfico dado correctamente: tal vez en el intervalo de $(17.123487634827631, 17.123487634827632)$ hay un aumento enorme! No debemos ver esto simplemente por el trazado de un montón de puntos menos por pura chiripa, hemos escogido uno en ese intervalo, entonces, ¿cómo podemos descartarlo?
Para descartar esto, se analiza la función. Por ejemplo, podemos demostrar que en positivo reales, la función de $f(x)=x^2$ está en aumento; esto descarta un repunte, porque "la mitad de" la espiga tendría que ser decreciente (piensa). Del mismo modo podemos averiguar cómo de rápido se $f$ nunca se puede aumentar, en cualquier intervalo de tiempo (es decir, podemos encontrar el máximo de la derivada de $f$), y así sucesivamente. Quizás el más útil hecho acerca de $f$ en términos de la gráfica es que el $f$ es convexo: si dejamos $L$ ser la línea que conecta $(a, f(a))$ $(b, f(b))$( $a<b$ ), la gráfica de $f$ $(a, b)$ se encuentra por debajo de la línea de $L$. Esto le da un montón de información acerca de lo que la gráfica se parece! Y este hecho puede ser probado a partir de las propiedades básicas de los números reales.
Más complicada de propiedades de gráficos (por ejemplo, "pronunciada" más de aquí que de allí) puede ser definido con precisión y verificada mediante cálculo. Al final, estos hechos nos puede dar una imagen completa de lo que la gráfica de $f$ parece.
