Demostración sencilla del teorema de Cauchy en la teoría de grupos

Question

Me referiré a la siguiente demostración sencilla del teorema de Cauchy que aparece en el capítulo 33 de la obra de Pinter Un libro de álgebra abstracta . Lo he copiado a continuación para que se entienda bien mi pregunta.

Esta prueba es clarísima, sin embargo lo que no puedo entender es por qué $p$ tiene que ser un número primo? Me parece que la prueba funciona para cualquier divisor de $|G|$ . ¿Podría alguien aclarar esto? Se lo agradecería.

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Teorema de Cauchy: Dejemos que $G$ sea un grupo finito de orden $n$ y que $p$ sea un divisor primo de $n$ entonces $G$ tiene un elemento de orden $p$ .

Pinter demuestra el teorema de Cauchy específicamente para $p=5$ Sin embargo, dice, el mismo argumento funciona para cualquier valor de $p$ .

Considere todas las posibles 5-tuplas $(a, b, c, d, k)$ de elementos de $G$ cuyo producto $abcdk =e$ .

¿Cuántas 5-tuplas distintas de este tipo hay?

Bien, si seleccionamos $a, b, c$ y $d$ al azar, hay un único $k=d^{-1} c^{-1} b^{-1} a^{-1}$ en $G$ haciendo $abcdk = e$ . Por lo tanto, hay $n^4$ tales 5-tuplas.

Llamamos equivalentes a dos 5-tuplas si una es simplemente una permutación cíclica de la otra. Por lo tanto, $(a, b, c, d, k)$ equivale exactamente a cinco 5-tuplas distintas, a saber: $(a, b, c, d, k)$ , $(b, c, d, k, a)$ , $(c, d, k, a, b)$ , $(d, k, a, b, c)$ y $(k, a, b, c, d)$ .

La única excepción se produce cuando una 5-tupla es de la forma $(a, a, a, a, a)$ con todos sus componentes iguales; sólo es equivalente a sí mismo. Así, la clase de equivalencia de cualquier 5-tupla de la forma $(a, a, a, a, a)$ tiene un solo miembro, mientras que todas las demás clases de equivalencia tienen cinco miembros.

¿Existen clases de equivalencia, además de ${(e, e, e, e, e)}$ con un único miembro? Si no es así, entonces $5$ divide $(n^4-1)$ (porque hay $n^4$ 5-tuplas bajo consideración, menos $(e, e, e, e, e)$ ), por lo que $n^4\equiv 1\pmod 5$ . Pero estamos asumiendo que 5 divide $n$ Por lo tanto $n^4\equiv 0\pmod 5$ , lo cual es una contradicción.

Esta contradicción muestra que debe haber una 5-tupla $(a,a,a,a,a)\neq(e, e, e, e, e)$ tal que $aaaaa=a^5=e$ . Por lo tanto, hay un elemento $a\in G$ de orden 5.

Answer 1

" La única excepción se produce cuando una 5-tupla es de la forma $(a,a,a,a,a)$ con todos sus componentes iguales; sólo es equivalente a sí mismo".

Esto se rompe si $p = 6$ por ejemplo: $(a, a, b, a, a, b)$ . Pero incluso entonces:

"debe haber una 5-tupla $(a,a,a,a,a)\neq (e,e,e,e,e)$ tal que $aaaaa=a^5=e$ . Por lo tanto, hay un elemento $a\in G$ de orden 5 ."

Esto también se rompe si $p = 6$ : hay un montón de grupos $G$ con elementos no identitarios $a$ tal que $a^6 = e$ porque $a$ tiene un orden 2 o 3 (considere $C_2$ o $C_3$ y un elemento no identitario).

Answer 2

En resumen, tenemos una demostración defectuosa o quizás incompleta. Aunque puedo ver el error no soy capaz de escribir una demostración rigurosa. ¿Podría alguien publicar la prueba corregida?

Answer 3

Bueno, una de las principales razones por las que la prueba no funciona para p compuesto es que la "clase de equivalencia" de una tupla p girada cíclicamente, puede no tener exactamente uno o exactamente p elementos en ella. Por ejemplo, si p = 6; mira abcabc.

Answer 4

Si p es un primo, y a1,a2,...,ap no son todas iguales, entonces todas las p permutaciones cíclicas de (a1,a2,...,ap) no son iguales. pues podemos usar g para representar la permutación de t=(a1,a2,...,ap) a (ap,a1,a2,...), entonces e,g,g^2,...g^(p-1) son todas las permutaciones y forman un grupo cíclico. si existe g^i(t)=g^j(t) entonces e(t) = g^(j-i)(t), elegimos el k más pequeño tal que e(t)=g^k(t), entonces el grupo generado por g^k formará un subgrupo. sólo hay dos casos, 1) el orden del subgrupo es 1, esto significa que k=p, y todas las permutaciones son todas diferentes. 2)el orden del subgrupo es p, esto significa que a1,a2,...,ap son todos iguales lo cual es contradictorio . Q.E.D. encontramos que la prueba anterior no es correcta cuando p no es primo. Esto responde a tu pregunta.