Intercambiando dos límites en una prueba. Es legítimo?

Question

Landau define

$$\log x = \lim\limits_{k \to 0} {x^k-1 \over k}$$

Yo quería demostrar las propiedades elementales de los logaritm con esto, a saber:

1. $\log xy = \log x +\log y $
2. $\log x^a = a\log x $
3. $1-\dfrac 1 x\leq\log x \leq x-1 $
4. $\lim\limits_{x\to 0}\dfrac{\log(1+x)}{x}=1 $
5. $\dfrac{d}{dx}\log x = \dfrac 1 x$

He probado de todo, sin embargo, en el último caso hice esto

$$\eqalign{ & \frac{d}{dx}\log x = \lim \limits_{h \to 0} \frac{\log \left( x + h \right) - \log x}{h} \cr & = \lim\limits_{h \to 0} \lim \limits_{k \to 0} \frac{\left( x + h \right)^k - x^k}{kh} \cr & = \lim \limits_{k \to 0} \frac{1}{k}\lim \limits_{h \to 0} \frac{\left( x + h \right)^k - x^k}{h} \cr & = \lim \limits_{k \to 0} \frac{1}{k}\lim \limits_{h \to 0} kx^{k - 1} = \lim \limits_{k \to 0} \lim \limits_{h \to 0} x^{k - 1} = x^{ - 1} } $$

Ya que no estoy familiarizado con el cálculo multivariable, no sé cómo justificar esto. ¿Qué podría trabajar aquí?

Answer 1

En Pedro solicitud voy a postear mi comentario como respuesta:

Tenga en cuenta que 1. con $y=1+ \frac{x}{h}$ da $$ \log{(x+h)}-\log{x} = \log{(1+h/x)}, $$ así, $$\frac{d}{dx}\log{x} = \lim_{h\to0}\frac{\log{(x+h)}-\log{x}}{h} = \frac{1}{x} \cdot \lim_{h\to0} \frac{\log{(1+h/x)}}{h/x} = \frac{1}{x} \cdot \lim_{k\to0} \frac{\log{(1+k)}}{k} \stackrel{4.}{=} \frac{1}{x}, $$ como se desee.