La forma cerrada para $\int_0^\infty\frac{\sin x\,\cdot\,\operatorname{Ci}x-\cos x\,\cdot\,\operatorname{Si}x}{\sqrt{16\,x^2+1}}dx$

Question

Es posible encontrar una forma cerrada para esta integral? $$\mathcal{S}=\int_0^\infty\frac{\sin x\cdot\operatorname{Ci}x-\cos x\cdot\operatorname{Si}x}{\sqrt{16\,x^2+1}}dx,$$ donde $\operatorname{Ci}x$ es el coseno integral y $\operatorname{Si}x$ es la integral del seno: $$\operatorname{Ci}x=-\int_x^\infty\frac{\cos t}t dt,\ \operatorname{Si}x=\int_0^x\frac{\sen t}t dt.$$ Integración numérica da $$\mathcal{S}\approx0.133456902778362645676629...$$

Answer 1

No está seguro de si consideran que esto es una forma cerrada, pero la integral de $\mathcal{S}$ se puede expresar en términos de la generalización de la Meijer $G$-función (véase la fórmula de $(3)$ aquí para la definición) y la función Bessel modificada de la de $2^{nd}$ tipo $K_\nu(x)$: $$\mathcal{S}=\frac{G_{2,4}^{4,2}\left(\frac18,\frac12\middle|\begin{array}{c}\frac12,\frac12\\0,0,\frac12,\frac12\\\end{array}\right)}{16\,\pi}-\frac\pi8K_0\left(\frac14\right).$$

Answer 2

La simplificación de Cleo respuesta como la de aquí, obtenemos $$ \mathcal{S}=-\frac{\pi}{8}\left.\frac{d}{d\nu}L_{\nu}\left(\frac14\right)\right|_{\nu=0} $$

Y más en general el resultado: $$ \mathcal{S}(a)=\int^{\infty}_{0}\frac{\sin x\operatorname{Ci}x-\cos x\operatorname{Si}x}{\sqrt{a^{-2}x^2+1}}dx=-\frac{a\pi}{2}\left.\frac{d}{d\nu}L_{\nu}\left(a\right)\right|_{\nu=0}. $$