La unión de círculos crecientes no es homeomorfa a la suma de círculos en cuña

Question

Dejemos que $X$ sea el subespacio de $\mathbb{R}^2$ que es la unión de los círculos $C_n$ de radio $n$ y el centro $(n,0)$ para $n \in \mathbb{N}$ . Demostrar que $X$ y $\bigvee_\infty S^1$ son equivalentes en homotopía, pero no son homeomorfas.

No me queda claro por qué los mapas "obvios" entre los dos espacios no dan un homeomorfismo. Parece que la diferencia tendría que ser un resultado del comportamiento del mapa cerca del origen. ¿Podrían darme una pista?

Answer 1

SUGERENCIA: $X$ es primero contable. El punto común de la cuña no tiene una base local contable.