Productos y pullbacks implica ecualizadores?

Question

Estaba leyendo Herrlich Y Strecker la Categoría de Teoría, y no es un teorema llamado de La Canónica de la construcción de Pullbacks que establece que si una categoría tiene los productos y ecualizadores, entonces se ha pullbacks.

Así que empecé a preguntarme por algún tipo de conversar. Por ejemplo, es falso que pullbacks y ecualizadores implican los productos, ya que la categoría de los campos de pullbacks y ecualizadores, pero no los productos.

Entonces me pregunté si los productos y pullbacks implica ecualizadores. No he sido capaz de llegar con un contraejemplo, así que supongo que debe ser cierto. Hay una prueba de ello?

Answer 1

Sí, los productos y los pullbacks implica ecualizadores. El ecualizador de $f,g: A \to B$ es el pullback de $(1,f)$$(1,g): A \to A\times B$. Un cono $C$ sobre el pullback diagrama de $(1,f)$ $(1,g)$ tiene mapas de $\pi_1,\pi_2: C \to A$ y por la conmutatividad del diagrama sabemos $\pi_1 = \pi_2$$f \circ \pi_1 = g \circ \pi_2$. Esto es claramente equivalente a la de un cono sobre el ecualizador diagrama de $f,g: A \to B$.

Answer 2

Marlu de la construcción le dice que aquellos que igualan puede ser construido como el tiempo que tienen los binarios de productos y pullbacks de split monomorphisms a lo largo de split monomorphisms, que es extremadamente débil de la asunción. Permítanme darles una alternativa de construcción que a veces es útil en la geometría:

La proposición. Dado morfismos $f, g : X \to Y$, el retroceso de la diagonal mapa de $\Delta_Y = \langle \textrm{id}, \textrm{id} \rangle : Y \to Y \times Y$ a lo largo de $\langle f, g \rangle : X \to Y \times Y$ es el ecualizador de $f$ $g$ (y viceversa).

La prueba es lo suficientemente sencillo. Aquí lo que supongo es que hemos binario productos y pullbacks de split monomorphisms a lo largo arbitrario morfismos. La razón por la que prefiero esta construcción es que dice algo extra:$\textbf{Top}$, por ejemplo, se dice que el ecualizador de $f$ $g$ es un subespacio cerrado de $X$ si $Y$ es de Hausdorff. (De manera similar, en $\textbf{Sch}$, el ecualizador de $f$ $g$ es un cerrado subscheme si $Y$ está separado.)